4. Zadatak

Prvo rješenje.

Skica.

Trokut $BCT$ je jednakostraničan (kutovi su mu sukuti unutrašnjem kutu pravilnog šesterokuta). Kateta $FD$ je kraća dijagonala u pravilnom šesterokutu i okomita je na pravac $CD$ pa je trokut $FDT$ pravokutan.

Dužina $FT$ je njegova hipotenuza i njezina je duljina

$$(|FT|)^2=(a\sqrt3)^2+(2a)^2.$$

Dakle, $|FT|=a\sqrt7$.

Drugo rješenje.

Skica.

Kako je $\angle CBT=\angle BCT=60^\circ$, trokut $BTC$ je jednakostraničan, stranice duljine $a$. Nadalje, $FC\parallel AT$ i $|FC|=|AT|=2a$, $FA\parallel CT$ i $|FA|=|CT|=a$. Stoga je četverokut $ATCF$ paralelogram.

Tražimo duljinu njegove dijagonale $FT$.

Duljina visine paralelograma $|FG|$ jednaka je duljini visine jednakostraničnog trokuta $BTC$. Tada je

$$|FT|^2=|FG|^2+(|GA|+|AT|)^2=\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac a2+2a\right)^2.$$

Dakle, $|FT|^2=7a^2$, $|FT|=a\sqrt7$.

Treće rješenje. Ako stavimo ishodište koordinatnog sustava u središte šesterokuta, očigledne su koordinate točaka

$$F=(-a,0)\quad\text{i}\quad T=\left(\frac32a,-\frac{\sqrt3}{2}a\right).$$

Dalje je

$$|FT|=\sqrt{\left(\frac32a+a\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}a-0\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}a^2+\frac34a^2}=\sqrt{\frac{28}{4}a^2}=a\sqrt7.$$