7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je duljina stranice $b=8\ \mathrm{cm}$ i $a+b+c=20\ \mathrm{cm}$. Površinu trokuta računamo po Heronovoj formuli

$$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad s=\frac p2=10.$$

Iz opsega slijedi $c=20-8-a=12-a$. Tada je

$$P=\sqrt{10(10-a)(10-8)(a-2)}$$ $$P=\sqrt{20(-a^2+12a-20)}.$$

Ovaj će izraz imati najveću vrijednost za onu vrijednost od $a$ za koju kvadratna funkcija $f(a)=-a^2+12a-20$ ima najveću vrijednost, a to je za $a=6\ \mathrm{cm}$.

Tada je i $c=6\ \mathrm{cm}$, a najveća površina

$$P=8\sqrt5\ \mathrm{cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Površinu trokuta možemo računati prema formuli

$$P=\frac12ab\sin\gamma\quad\text{(ili }P=\frac12bc\sin\alpha\text{)}.$$

Kako je $a+b+c=20$, tada je $a+c=12$, odnosno $a=12-c$.

Koristeći poučak o kosinusu dobivamo

$$c^2=(12-c)^2+64-16(12-c)\cos\gamma$$

ili

$$\cos\gamma=\frac{26-3c}{2(12-c)}.$$ $$\sin\gamma=\sqrt{1-\left(\frac{26-3c}{2(12-c)}\right)^2}=\frac{\sqrt{-5c^2+60c-100}}{2(12-c)}.$$

Tada je površina trokuta

$$P=\frac12\cdot8\cdot(12-c)\sin\gamma=2\sqrt{-5c^2+60c-100}.$$

Analogno kao i u prvom rješenju, gledamo najveću vrijednost izraza

$$-5c^2+60c-100$$

koja se postiže za $c=6\ \mathrm{cm}$.

Tada je $a=6\ \mathrm{cm}$ i

$$P=8\sqrt5\ \mathrm{cm}^2.$$