2. Zadatak

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom. Provjerimo tvrdnju za $n=2$.

$$\tg x\cdot\tg 2x=\frac{2\tg^2x}{1-\tg^2x}.$$

S druge strane je

$$\begin{aligned} \frac{\tg 2x}{\tg x}-2 &=\frac{\frac{2\tg x}{1-\tg^2x}}{\tg x}-2 =\frac{2}{1-\tg^2x}-2\\ &=\frac{2-2+2\tg^2x}{1-\tg^2x} =\frac{2\tg^2x}{1-\tg^2x} \end{aligned}$$

pa tvrdnja vrijedi za $n=2$.

Pretpostavimo da za neki $n\in\mathbb{N}$, $n\ge2$ tvrdnja vrijedi, odnosno da je

$$\tg x\cdot\tg 2x+\tg 2x\cdot\tg 3x+\ldots+\tg(nx-x)\cdot\tg nx=\frac{\tg nx}{\tg x}-n.$$

Dokažimo da tada vrijedi i za $n+1$. Treba dokazati:

$$\tg x\cdot\tg 2x+\tg 2x\cdot\tg 3x+\ldots+\tg(nx-x)\cdot\tg nx+\tg nx\cdot\tg(nx+x)=\frac{\tg((n+1)x)}{\tg x}-(n+1).$$

Krenimo od lijeve strane jednakosti koju želimo dokazati i primijenimo pretpostavku indukcije

$$\begin{aligned} &\tg x\cdot\tg 2x+\tg 2x\cdot\tg 3x+\ldots+\tg(nx-x)\cdot\tg nx+\tg nx\cdot\tg(nx+x)\\ &=\frac{\tg nx}{\tg x}-n+\tg nx\cdot\tg(nx+x)\\ &=\frac1{\tg x}\left(\tg nx+\tg x\cdot\tg nx\cdot\tg(nx+x)\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\tg nx+\tg x\cdot\tg nx\cdot\frac{\tg nx+\tg x}{1-\tg nx\cdot\tg x}\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\frac{\tg nx-\tg^2nx\cdot\tg x+\tg x\cdot\tg^2nx+\tg^2x\cdot\tg nx}{1-\tg nx\cdot\tg x}\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\frac{\tg nx+\tg^2x\cdot\tg nx}{1-\tg nx\cdot\tg x}\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\frac{\tg nx+\tg x-\tg x+\tg^2x\cdot\tg nx}{1-\tg nx\cdot\tg x}\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\frac{\tg nx+\tg x-\tg x(1-\tg x\cdot\tg nx)}{1-\tg nx\cdot\tg x}\right)-n\\ &=\frac1{\tg x}\left(\frac{\tg nx+\tg x}{1-\tg nx\cdot\tg x}-\tg x\right)-n\\ &=\frac{\tg(nx+x)}{\tg x}-1-n =\frac{\tg((n+1)x)}{\tg x}-(n+1) \end{aligned}$$

što je i trebalo dokazati. Prema tome, dana tvrdnja vrijedi za sve $n\in\mathbb{N}$, $n\ge2$.