5. Zadatak

Sa $n$ označimo broj stranica knjige, a sa $k$ i $k+1$ brojeve stranica na listu koji je istrgnut. Vrijedi

$$2013=1+2+\ldots+k-1+k+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}-k-(k+1).$$

Procijenimo gornju i donju granicu za zbroj na desnoj strani jednakosti. Očito je $1\le k\le n-1$ pa imamo sustav nejednadžbi:

$$2013\le\frac{n(n+1)}2-1-2$$ $$2013\ge\frac{n(n+1)}2-(n-1)-n.$$

Iz njega dobivamo sustav od dvije kvadratne nejednadžbe

$$n^2+n-4032\ge0$$ $$n^2-3n-4024\le0.$$

Ako sa $n_1<n_2$ označimo rješenja jednadžbe $n^2+n-4032=0$ i sa $n_3<n_4$ rješenja jednadžbe $n^2-3n-4024=0$, slijedi da mora biti $n\in[n_2,n_4]$ (jer se lako vidi da su $n_1$ i $n_3$ negativni). Vrijedi da je

$$n_2=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot4032}}2=\frac{-1+\sqrt{16129}}2=\frac{-1+\sqrt{127^2}}2=63,$$ $$n_4=\frac{3+\sqrt{9+4\cdot4024}}2=\frac{3+\sqrt{16105}}2<\frac{3+\sqrt{127^2}}2=65.$$

Dakle, $n$ je ili 63 ili 64.

Ako je $n=63$, onda rješavamo jednadžbu

$$\begin{aligned} \frac{63\cdot64}{2}-k-(k+1)&=2013\\ 2016-2k-1&=2013\\ 2k&=2\\ k&=1 \end{aligned}$$

i kao rješenje dobivamo $n=63$, $k=1$.

Ako je $n=64$, onda rješavamo

$$\begin{aligned} \frac{64\cdot65}{2}-k-(k+1)&=2013\\ 2080-2k-1&=2013\\ 2k&=66\\ k&=33 \end{aligned}$$

i kao rješenje dobivamo $n=64$, $k=33$.

Dakle, ili je istrgnuta prva i druga stranica iz knjige koja ima 63 stranice, ili je istrgnuta 33. i 34. stranica iz knjige koja ima 64 stranice.