3. Zadatak

Neka je $S$ središte trokutu upisane kružnice, $r$ polumjer upisane, $R$ polumjer opisane kružnice, te neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ dirališta stranica trokuta i upisane kružnice.

Najprije uočimo da je hipotenuza pravokutnog trokuta promjer trokutu opisane kružnice. Zato je traženi polumjer polovica duljine hipotenuze.

Također je poznata činjenica da je $|AC_1|=|AB_1|$, $|BC_1|=|BA_1|$ i $|CA_1|=|CB_1|$.

Pritom, zbog toga što je kut $\angle ACB$ pravi, četverokut $CB_1SA_1$ mora biti kvadrat, pa je $|CA_1|=|CB_1|=r$.

Uvedimo oznake $x=|AC_1|=|AB_1|$ i $y=|BC_1|=|BA_1|$.

Iz pravokutnih trokuta $AB_1S$, $BC_1S$ i $CA_1S$ imamo redom

$$x^2+r^2=5,\quad y^2+r^2=10,\quad2r^2=2.$$

Iz zadnje jednadžbe slijedi $r=1$, a potom iz prve dvije $x=2$ i $y=3$.

Konačno je $R=\frac{x+y}2=\frac52$.