Lovre je zamislio prirodan broj. Pomnožio ga je brojem $6$ , rezultatu je dodao $17$ , a dobiveni zbroj podijelio brojem $5$ . Dobio je troznamenkasti prirodni broj kojem je znamenka jedinica jednaka znamenki stotica, a zbroj znamenaka iznosi $10$ . Koji je broj Lovre mogao zamisliti?

Dva djeteta imaju različite šesteroznamenkaste šifre na lokotima. Obje šifre višekratnici su broja $45$ , a njihovi troznamenkasti završetci kvadrati su prirodnih brojeva. Za obje šifre vrijedi da im je troznamenkasti završetak za $316$ manji od troznamenkastog početka. Odredi te dvije šifre.

Dora, Eva i Frane rješavali su matematičke zadatke iz iste zbirke. Ako zbrojimo broj zadataka koje je riješila Dora, broj zadataka koje je riješila Eva i broj zadataka koje je riješio Frane, dobivamo $63$ . Odredi koliko su ukupno različitih zadataka riješili ako vrijedi: - Eva je riješila jedan zadatak manje od Frane, a Frane jedan zadatak manje od Dore. - Dora i Eva riješile su $12$ istih zadataka, dok su Dora i Frane riješili $8$ istih zadataka. - Dora je riješila $7$ zadataka koje nisu riješili ni Eva ni Frane. - Od zadataka koje je riješio Frane, točno trećinu je riješila i Eva.

Jednakokračan trokut $ABC$ opsega $50$ cm ima osnovicu $\overline{BC}$ duljine $14$ cm. Neka je $P$ polovište kraka $\overline{AB}$ . Okomica na pravac $AB$ kroz točku $P$ siječe krak $\overline{AC}$ u točki $D$ . Osnom simetrijom s obzirom na pravac $PD$ točka $C$ preslikana je u točku $E$ . Odredi opseg trokuta $ADE$ .

U Maloj ulici pokraj mora nalazi se točno šest kućica u nizu. Svaku kućicu treba obojiti jednom od triju boja: plavom, zelenom ili bijelom. Na koliko se različitih načina mogu obojiti kućice u Maloj ulici tako da se upotrijebe sve tri boje i da svake dvije susjedne kućice budu različitih boja?

Ana i Ivo grade dva jednaka drvena tornja. Ana može sama izgraditi toranj za $30$ minuta, a Ivo za $24$ minute. Nakon što su prvi toranj zajedno gradili $10$ minuta, Ivo je nastavio graditi prvi toranj, a Ana je počela graditi drugi toranj. Čim je dovršio prvi toranj, Ivo se pridružio Ani i zajedno su dovršili drugi toranj. Za koliko su vremena Ana i Ivo izgradili oba tornja?

U trokutu $ABC$ simetrala kuta $\angle ACB$ i simetrala stranice $\overline{AC}$ sijeku se u točki $D$ koja pripada stranici $\overline{AB}$ . Nožište visine iz vrha $C$ dijeli dužinu $\overline{BD}$ na dvije sukladne dužine. Odredi veličine kutova trokuta $ABC$ .

Odredi sve troznamenkaste brojeve $\overline{abc}$ kojima su sve znamenke različite od nule takve da vrijedi $D(\overline{abc},\overline{cba})=18\qquad\text{i}\qquad D(\overline{abc},\overline{acb})=9.$

Koristeći deset jednakih pločica, čije su dimenzije $2\times1$ , treba u potpunosti prekriti pravokutnu ploču dimenzija $10\times2$ . Pločice se mogu postaviti horizontalno ili vertikalno. Na koliko se načina to može učiniti?

U rombu $ABCD$ vrijedi $|\angle BAD|=120^\circ$ . Točka $E$ pripada stranici $\overline{AB}$ , a točka $F$ stranici $\overline{AD}$ pri čemu je $|AE|+|AF|=|AB|$ . Dokaži da je trokut $CFE$ jednakostraničan.

Marica je zapisala jedan prirodni broj, a zatim još nekoliko brojeva. Svaki sljedeći broj za $5$ je manji od dvostruke vrijednosti broja koji je zapisan neposredno prije njega. Zbroj prvog i četvrtog zapisanog broja iznosi $28$ . Koliko je najviše brojeva Marica mogla zapisati ako razlika između posljednja dva zapisana broja nije veća od $500$ ?

Stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ četverokuta $ABCD$ su usporedne, a njegove se dijagonale sijeku u točki $E$ . Ako je površina trokuta $ABE$ jednaka $72$ , a površina trokuta $ECD$ jednaka $50$ , kolika je površina četverokuta $ABCD$ ?

Neka je $n$ prirodan broj. Može li se razlomak $\frac{(2n+1)(4n+1)}{n(4n+3)}$ kratiti nekim prirodnim brojem većim od $1$ ?

Neka su $D$ , $E$ i $F$ redom polovišta stranica $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ . Neka je $\overline{BN}$ visina na stranicu $\overline{CA}$ . Dokaži da je $|\angle DEF|=|\angle DNF|$ .

Devet ugašenih žarulja poredano je u red. Žarulje je moguće paliti i gasiti nizom koraka samo prema sljedećem pravilu. U svakom koraku dopušteno je odabrati tri uzastopne žarulje i istovremeno im promijeniti stanje: upaljene ugasiti, a ugašene upaliti. a) Može li se postići da druga, četvrta, šesta i osma žarulja budu ugašene, a preostalih pet žarulja upaljeno? b) Koliko je različitih rasporeda stanja svih devet žarulja moguće postići?

U bazenu se nalazi određena količina vode, a u njega neprestano dotiče voda stalnom brzinom. Ako se voda ispumpava pomoću sedam jednakih pumpi, bazen se isprazni za jedan sat. Ako su uključene samo dvije od tih pumpi, bazen se isprazni za pet sati. Koliko bi vremena bilo potrebno da se bazen isprazni ako radi samo jedna od tih pumpi?

Neka je $ABCDEFGH$ pravilni osmerokut. Izračunaj omjer duljina $|AC|:|AD|$ .

Odredi sve parove prirodnih brojeva za koje je zbroj njihovog umnoška, njihovog količnika, njihovog zbroja i njihove razlike jednak $450$ .

Marijan piše brojeve po školskoj ploči. Na početku je na praznu ploču napisao brojeve $11$ , $14$ , $17$ i $20$ . U svakom koraku Marijan obriše s ploče tri broja $a$ , $b$ i $c$ , te na ploču napiše brojeve $a+b-c$ , $b+c-a$ i $c+a-b$ . Može li Marijan konačnim brojem takvih koraka postići da na ploči budu brojevi: a) $5$ , $11$ , $17$ i $23$ ? b) $3$ , $11$ , $23$ i $25$ ?

Neka je $k$ kružnica sa središtem $O$ i $\overline{AB}$ njen promjer. Točka $C$ je polovište dužine $\overline{OB}$ , a $D$ točka na $k$ takva da je $|BC|=|BD|$ . Drugo sjecište pravca $CD$ i kružnice $k$ je točka $E$ , a pravci $OE$ i $BD$ sijeku se u točki $F$ . Dokaži da je $|BF|=|AB|$ .

Izračunaj: $171 \cdot 7 + 2 \cdot (201 - 51 : 3 - 13) - 3 \cdot (200 - 29)$ .

Odredi zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva kojima je zbroj znamenaka $9$ .

Ana ima $50$ €. Tom iznosu dodaje njegovu petinu, a zatim ukupnom iznosu dodaje njegovu petinu. Ema ima $48$ €. Tom iznosu dodaje njegovu četvrtinu, a zatim ukupnom iznosu dodaje njegovu četvrtinu. Koja djevojčica nakon opisana dva dodavanja ima više novca i za koliko?

Ako je danas $26$ . siječnja $2026$ . godine i ako je sada $10$ sati $10$ minuta i $10$ sekundi, koji datum i koliko sati, minuta i sekundi je bilo prije $26$ sati $26$ minuta i $26$ sekundi?

Zadan je pravokutnik $ABCD$ i točka $E$ na stranici $\overline{CD}$ . Duljina stranice $\overline{AB}$ iznosi $28$ cm, a stranica $\overline{BC}$ je za $4$ cm kraća od nje. Duljina dužine $\overline{AE}$ iznosi $30$ cm. Opseg trokuta $AED$ iznosi $72$ cm, a trokuta $BCE$ $60$ cm. Bez mjerenja odredi duljinu dužine $\overline{BE}$ .

Tri prijatelja grade toranj od kocaka. Na raspolaganju imaju dvije kutije s puno kocaka. U jednoj kutiji su kocke visine $12$ cm, a u drugoj kocke visine $90$ mm. Svaki od prijatelja bira kutiju i uzima kocke iz te kutije. Prvi prijatelj uzima dvije kocke, drugi uzima tri kocke, a treći uzima šest kocaka. Toranj dobivaju slažući odabrane kocke jednu na drugu. Odredi sve moguće visine tornja i poredaj ih po veličini, od najmanje do najveće.

U jednoj školi održan je kviz znanja za učenike četvrtih razreda. Razredi 4.b i 4.c osvojili su zajedno $48$ bodova, razredi 4.a i 4.c osvojili su zajedno $43$ boda, dok su razredi 4.c i 4.d osvojili zajedno $41$ bod. Razred 4.c osvojio je jednak broj bodova kao razredi 4.a i 4.d zajedno. Odredi pobjednika kviza te broj bodova koje je osvojio pojedini razred.

Izračunaj $6 + 6 \cdot 7 + 7 - (7 \cdot 6 - 6 - 7) + (7^2 + 7 - 6) \cdot (7 \cdot 6 - (6 + 6) : 6)$ .

Marin i Josip igraju rukomet u školskoj ligi. Dijagramom je prikazan zbroj broja golova koje su Marin i Josip postigli u prvih pet kola. U prvom kolu Josip je postigao gol više nego Marin. U drugom kolu Josip je postigao gol manje nego u prvom kolu. U trećem kolu je broj golova koje je postigao Josip bio jednak trećini broja golova koje je postigao Marin. U četvrtom kolu su postigli jednak broj golova. Ako je Marin postigao ukupno $12$ golova, koliko je golova postigao Josip u svakom od pet kola?

Na starom spomeniku uklesana su tri niza simbola. Zbroj vrijednosti svakog pojedinog niza simbola zapisan je u tablici ispod svake slike. Odredi vrijednost svakog od triju simbola $\triangle$ , $\boxdot$ , $\odot$ .

Odredi: (a) najmanji šesteroznamenkasti broj koji će pri zaokruživanju na najbližu tisućicu dati broj čija je znamenka tisućica $3$ . (b) najveći peteroznamenkasti broj koji će pri zaokruživanju na najbližu stoticu dati broj čija je znamenka stotica $5$ .

Unutar pravokutnika $ABCD$ nacrtani su kvadrati $EFGH$ i $KLMH$ , kao što je prikazano na slici. Odredi $|AB|$ ako je $|AF| = 15$ , $|LC| = 20$ i $|BC| = 11$ . Slika ne odgovara stvarnim mjerama.

Elementi skupa $A$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka stotica jednaka $4$ . Elementi skupa $B$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka desetica jednaka $4$ . Elementi skupa $C$ su svi četveroznamenkasti prirodni brojevi kojima je znamenka jedinica jednaka $4$ . Odredi broj elemenata skupa $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Knjiga „Mali čarobnjak“ prodaje se u Hrvatskoj od kolovoza $1997$ . Toga je mjeseca prodano prvih petsto knjiga. Svakog sljedećeg mjeseca prodano je $50$ knjiga više nego prethodnog mjeseca. Koliko je ukupno knjiga „Mali čarobnjak“ prodano do kraja $2025$ . godine?

Odredi vrijednost izraza $-3 \cdot (11 - 4ab) + 3a \cdot (-5b) - |-1978|$ ako je $a=-5$ i $b=-1$ .

Točka $T(-4,3)$ jedan je vrh kvadrata čija dijagonala pripada koordinatnoj osi. Odredi moguće koordinate preostalih vrhova kvadrata.

Polupravci $AB$ i $CD$ na slici su usporedni. Ako je $|\angle BAE|=73^\circ$ i $|\angle DCE|=126^\circ$ , odredi veličinu kuta $\angle AEC$ .

Može li zbroj pet uzastopnih prirodnih brojeva biti prost broj?

Stela je nacrtala ploču s $9$ redaka i $9$ stupaca te obojila sva rubna polja i sva polja koja prekrivaju dijagonale ploče što je ukupno $45$ polja, kao na slici. Pavao je nacrtao ploču s $505$ redaka i $505$ stupaca, a Neven ploču s $449$ redaka i $449$ stupaca. Oponašajući Stelu, obojica su na svojim pločama obojila sva rubna polja i sva polja koja prekrivaju dijagonale ploče. Koliko je polja više od Nevena obojio Pavao?

Svi ormarići za presvlačenje na bazenu označeni su uzastopnim prirodnim brojevima, počevši od broja $1$ . Za njihovo označavanje korištene su plastične znamenke, npr. na ormariću s brojem $234$ nalaze se tri plastične znamenke. Cijena svake znamenke je $0.75$ €. Koliko je ormarića na bazenu ako je za sve znamenke koje su potrebne za njihovo označavanje utrošeno $1993.50$ €?