5. Zadatak

Zbroj triju brojeva bit će djeljiv s $5$ ako je zbroj njihovih ostataka pri dijeljenju s $5$ djeljiv s $5$. Zato formirajmo skupove na sljedeći način:

$A_0$ je skup brojeva (cijena u kunama) koji su djeljivi s $5$, $A_1$ je skup brojeva (cijena) koji pri dijeljenju s $5$ daju ostatak $1$, itd.

$$A_0=\{15,20,25,30\}$$ $$A_1=\{11,16,21,26\}$$ $$A_2=\{12,27\}$$ $$A_3=\{28\}$$ $$A_4=\{29\}$$

Promotrimo koje ostatke pri dijeljenju s $5$ mogu imati pribrojnici da bi njihov zbroj bio djeljiv s $5$.

Dobiva se ovih $7$ mogućnosti:

a) $0,0,0$

b) $0,1,4$

c) $0,2,3$

d) $1,1,3$

e) $1,2,2$

f) $2,4,4$

g) $3,3,4$

Potrebno je prebrojiti različite pakete za svaki od navedenih slučajeva:

a) Cijena svake od triju čokolada u paketu je broj djeljiv s $5$. Postoji $20$ mogućnosti:

$$\begin{aligned} &15+15+15, &&20+20+20, &&25+25+25, &&30+30+30,\\ &15+15+20, &&15+15+25, &&15+15+30,\\ &20+20+15, &&20+20+25, &&20+20+30,\\ &25+25+15, &&25+25+20, &&25+25+30,\\ &30+30+15, &&30+30+20, &&30+30+25,\\ &15+20+25, &&15+20+30, &&15+25+30, &&20+25+30. \end{aligned}$$

b) Cijena jedne čokolade je broj djeljiv s $5$, druge čokolade broj koji daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $5$, a treće broj koji daje ostatak $4$ pri dijeljenju s $5$.

Broj djeljiv s $5$ možemo izabrati na $4$ načina, jer je to jedan od brojeva iz skupa $A_0$. Broj koji daje ostatak $1$ možemo izabrati također na $4$ načina, a broj koji daje ostatak $4$ pri dijeljenju s $5$ je samo broj $29$, što znači da je samo jedan način.

Ukupan broj načina u ovom slučaju je, dakle, $4\cdot4\cdot1=16$.

Do broja $16$ moguće je doći ispisivanjem svih kombinacija te njihovim prebrojavanjem:

$$\begin{aligned} &15+11+29, &&20+11+29, &&25+11+29, &&30+11+29,\\ &15+16+29, &&20+16+29, &&25+16+29, &&30+16+29,\\ &15+21+29, &&20+21+29, &&25+21+29, &&30+21+29,\\ &15+26+29, &&20+26+29, &&25+26+29, &&30+26+29. \end{aligned}$$

c) Cijena jedne čokolade je broj djeljiv s $5$, druge čokolade broj koji daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $5$, a treće broj koji daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $5$.

Broj djeljiv s $5$ možemo izabrati na $4$ načina, broj koji daje ostatak $2$ možemo izabrati na $2$ načina, a broj koji daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $5$ je samo broj $28$, što znači da je samo jedan način.

Ukupan broj načina u ovom slučaju je, dakle, $4\cdot2\cdot1=8$.

$$15+12+28,\quad20+12+28,\quad25+12+28,\quad30+12+28,$$ $$15+27+28,\quad20+27+28,\quad25+27+28,\quad30+27+28.$$

d) Cijene dviju čokolada su brojevi iz skupa $A_1$, a cijena treće čokolade je broj iz skupa $A_3$. Izabrati dvije čokolade s cijenama iz skupa $A_1$ može se na $10$ načina, dok skup $A_3$ ima samo jedan element. Prema tome, dobiva se ukupno $10$ mogućnosti:

$$\begin{aligned} &11+11+28, &&11+16+28, &&11+21+28, &&11+26+28,\\ &16+16+28, &&16+21+28, &&16+26+28,\\ &21+21+28, &&21+26+28, &&26+26+28. \end{aligned}$$

e) Treba izabrati jedan broj iz skupa $A_1$ i $2$ broja iz skupa $A_2$. Iz skupa $A_1$ jedan broj se može odabrati na $4$ načina, a $2$ broja iz skupa $A_2$ biraju se na tri načina. Ovdje je, dakle, ukupno $12$ mogućnosti:

$$\begin{aligned} &11+12+12, &&11+12+27, &&11+27+27,\\ &16+12+12, &&16+12+27, &&16+27+27,\\ &21+12+12, &&21+12+27, &&21+27+27,\\ &26+12+12, &&26+12+27, &&26+27+27. \end{aligned}$$

f) Jedan element skupa $A_2$ možemo odabrati na $2$ načina, a samo je jedan način za odabir dvaju elemenata skupa $A_4$, pa su ovdje točno dvije mogućnosti:

$$12+29+29,\quad27+29+29.$$

g) S obzirom da skupovi $A_3$ i $A_4$ imaju po jedan element, jedina je mogućnost:

$$28+28+29.$$

Ukupan broj paketa koji se mogu dobiti na traženi način je:

$$20+16+8+10+12+2+1=69.$$