2. Zadatak

Kada bi znamenka tisućica bila $2$ ili više, zbroj bi bio veći od $1254$.

Znamenka tisućica mora biti $1$.

Četveroznamenkasti broj je oblika $\overline{1abc}$.

Ako ispustimo znamenku $c$, dobije se:

$$\overline{1abc}+\overline{1ab}=1254$$ $$1000+100a+10b+c+100+10a+b=1254$$ $$110a+11b+c+1100=1254$$ $$110a+11b+c=154$$

$a=1$ jer je za $a=2$ zbroj veći od $154$, a za $a=0$ je izraz $11b+c$ manji od $154$.

$$11b+c=44$$

$b=4$, $c=0$ Broj je $1140$.

Ako ispustimo znamenku $b$, dobije se:

$$\overline{1abc}+\overline{1ac}=1254$$ $$1000+100a+10b+c+100+10a+c=1254$$ $$110a+10b+2c+1100=1254$$ $$110a+10b+2c=154$$

$a=1$

$$10b+2c=44$$ $$5b+c=22$$

$b=3$, $c=7$ Broj je $1137$.

$b=4$, $c=2$ Broj je $1142$.

Ako ispustimo znamenku $a$, dobije se:

$$\overline{1abc}+\overline{1bc}=1254$$ $$1000+100a+10b+c+100+10b+c=1254$$ $$100a+20b+2c+1100=1254$$ $$100a+20b+2c=154$$ $$\begin{array}{rclcrcl} a=0 & & & & a=1 & & \\ 20b+2c=154 & & & & 20b+2c=54 & & \\ 10b+c=77 & & & & 10b+c=27 & & \\ b=7,\ c=7 & \text{Broj je }1077. & & & b=2,\ c=7 & \text{Broj je }1127. \end{array}$$

Ako ispustimo znamenku $1$, dobije se:

$$\overline{1abc}+\overline{abc}=1254$$ $$200a+20b+2c+1000=1254$$ $$200a+20b+2c=254$$ $$100a+10b+c=127$$

$a=1$

$$10b+c=27$$

$b=2$, $c=7$ Broj je $1127$, ali taj broj već imamo.

Sva moguća rješenja su:

$1077$, $1127$, $1137$, $1140$, $1142$.