4. Zadatak

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$ i $|\angle CBA|=\beta$. Sjecište simetrale kuta $\angle ACB$ i stranice $\overline{AB}$ označimo s $D$.

Vrijedi da je $\alpha+\beta=90^\circ$, odnosno $\beta=90^\circ-\alpha$.

Trokut $\triangle ANC$ je pravokutan, pa je

$$|\angle ACN|=90^\circ-|\angle NAC|=90^\circ-\alpha=\beta.$$

Središte trokutu opisane kružnice kod pravokutnog trokuta nalazi se u polovištu hipotenuze.

Zbog toga je $|PB|=|PC|$, pa je $\triangle PBC$ jednakokračan trokut.

Tada je $|\angle PCB|=|\angle CBP|=\beta$.

Dalje vrijedi:

$$|\angle ACD|=|\angle ACN|+|\angle NCD|=\beta+|\angle NCD|$$ $$|\angle DCB|=|\angle DCP|+|\angle PCB|=|\angle DCP|+\beta.$$

Simetrala kuta dijeli kut na dva sukladna kuta, pa je $|\angle ACD|=|\angle DCB|$.

Zbog toga je $\beta+|\angle NCD|=|\angle DCP|+\beta$,

a onda je $|\angle NCD|=|\angle DCP|$, što je trebalo dokazati.