4. Zadatak

Prema uvjetu zadatka je $|\angle SAG|=|\angle DAF|=85^\circ$. Dijagonale kvadrata se raspolavljaju, jednake su duljine i međusobno su okomite pa vrijedi: $|SA|=|SC|$ i $|\angle SAC|=|\angle SCA|=45^\circ$. Dalje je

$$|\angle CAG|=|\angle SAG|-|\angle SAC|=85^\circ-45^\circ=40^\circ.$$

Zbog $|CA|=|CB|=|CF|$ zaključujemo da je trokut $\triangle AFC$ jednakokračan s osnovicom $\overline{AF}$ i tada vrijedi $|\angle CAF|=|\angle AFC|=40^\circ$. Tada je

$$|\angle ACF|=180^\circ-2\cdot|\angle CAF|=180^\circ-2\cdot40^\circ=180^\circ-80^\circ=100^\circ.$$

Trokut $\triangle BFC$ je jednakostraničan pa je $|\angle GCF|=|\angle BCF|=60^\circ$ i

$$|\angle ACG|=|\angle ACF|-|\angle GCF|=100^\circ-60^\circ=40^\circ.$$

U trokutu $\triangle AGC$ vrijedi da je $|\angle CAG|=|\angle ACG|=40^\circ$, pa je $|GA|=|GC|$.

Dalje je moguće na tri načina:

Prvi način:

Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj. vrijedi $|SA|=|SC|$. Dokazali smo da je $|GA|=|GC|$. Za točke $S$ i $G$ vrijedi da su jednako udaljene od krajnjih točaka dužine $\overline{AC}$, pa pripadaju simetrali dužine $\overline{AC}$. Kako je simetrala dužine okomita na dužinu, slijedi da je

$$SG\perp AC,$$

tj. $|\angle AHS|=90^\circ$.

Drugi način:

Promatramo trokute $\triangle SGC$ i $\triangle SAG$. Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj. vrijedi $|SA|=|SC|$. Dokazali smo da je $|GA|=|GC|$. Budući da je stranica $\overline{SG}$ zajednička za trokute $\triangle SGC$ i $\triangle SAG$, prema poučku SSS slijedi da je $\triangle SGC\cong\triangle SAG$ pa vrijedi

$$|\angle GSA|=|\angle CSG|=90^\circ:2=45^\circ.$$

U trokutu $\triangle AHS$ vrijedi da je $|\angle HSA|=|\angle GSA|=45^\circ$ i $|\angle SAH|=|\angle SAC|=45^\circ$, pa je

$$|\angle AHS|=180^\circ-(|\angle HSA|+|\angle SAH|)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Treći način:

Promatramo trokute $\triangle SGC$ i $\triangle SAG$. Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj. $|SA|=|SC|$. Dokazali smo da je $|GA|=|GC|$. Budući da je $|\angle SCH|=|\angle SCA|=45^\circ$ i $|\angle HCG|=|\angle ACG|=40^\circ$ vrijedi $|\angle SCG|=85^\circ$, odnosno $|\angle SAG|=|\angle DAF|=85^\circ$.

Prema poučku SKS slijedi da je $\triangle SGC\cong\triangle SAG$ pa vrijedi $|\angle AGS|=|\angle SGC|$. U trokutu $\triangle AGC$ vrijedi $|\angle CAG|=|\angle ACG|=40^\circ$, pa je $|\angle AGC|=100^\circ$, te

$$|\angle AGS|=|\angle SGC|=100^\circ:2=50^\circ.$$

U trokutu $\triangle HGC$ vrijedi $|\angle HGC|=50^\circ$ i $|\angle HCG|=40^\circ$, pa je $|\angle CHG|=90^\circ$ i vrijedi da je

$$SG\perp AC,$$

tj. $|\angle AHS|=90^\circ$.