3. Zadatak

Prvi način:

Neka su $\overline{ab}$ i $\overline{cd}$ zadani dvoznamenkasti brojevi. Prema uvjetima zadatka vrijedi:

$$\overline{ab}\cdot\overline{cd}+3816=\overline{ab}\cdot\overline{dc},$$

odnosno

$$(10a+b)\cdot(10c+d)+3816=(10a+b)\cdot(10d+c).$$

Dalje je redom:

$$100ac+10ad+10bc+bd+3816=100ad+10ac+10bd+bc,$$ $$90ac+9bc+3816=90ad+9bd,$$ $$10ac+bc+424=10ad+bd,$$ $$c(10a+b)+424=d(10a+b),$$ $$c\cdot\overline{ab}+424=\overline{ab}\cdot d,$$ $$\overline{ab}(d-c)=424.$$

Dalje se može rješavati na dva načina:

a) $c$ i $d$ su znamenke pa je njihova razlika sigurno manja od $9$ (ne može biti $9$ jer bi $c$ bilo jednako $0$, što ne može biti) i različita od nule (zbog umnoška koji ima vrijednost $424$).

$$\begin{aligned} \mathrm{I.}\quad d-c=1&\Rightarrow \overline{ab}=424,\quad\text{ne može biti jer je }\overline{ab}\text{ dvoznamenkasti broj}\\ \mathrm{II.}\quad d-c=2&\Rightarrow \overline{ab}=212,\quad\text{ne može biti jer je }\overline{ab}\text{ dvoznamenkasti broj}\\ \mathrm{III.}\quad d-c=3&\Rightarrow\text{ne može biti jer }424\text{ nije djeljiv brojem }3\\ \mathrm{IV.}\quad d-c=4&\Rightarrow \overline{ab}=106,\quad\text{ne može biti jer je }\overline{ab}\text{ dvoznamenkasti broj}\\ \mathrm{V.}\quad d-c=5&\Rightarrow\text{ne može biti jer }424\text{ nije djeljiv brojem }5\\ \mathrm{VI.}\quad d-c=6&\Rightarrow\text{ne može biti jer }424\text{ nije djeljiv brojem }6\\ \mathrm{VII.}\quad d-c=7&\Rightarrow\text{ne može biti jer }424\text{ nije djeljiv brojem }7\\ \mathrm{VIII.}\quad d-c=8&\Rightarrow \overline{ab}=53. \end{aligned}$$

Iz $\overline{ab}=53$ i $d=8+c$ slijedi $c=1$ i $d=9$, tj. $\overline{cd}=19$. Točan umnožak je $53\cdot19=1007$.

b) Rastavom broja $424$ na proste faktore dobit ćemo:

$$424=2\cdot2\cdot2\cdot53.$$

Odatle je dvoznamenkasti broj $\overline{ab}=53$, razlika znamenaka iznosi $d-c=8$, dakle $c=1$, $d=9$, tj. $\overline{cd}=19$.

Točan umnožak je $53\cdot19=1007$.

Drugi način:

Neka su $\overline{ab}$ i $\overline{cd}$ zadani dvoznamenkasti brojevi. Prema uvjetima zadatka vrijedi:

$$\overline{ab}\cdot\overline{cd}+3816=\overline{ab}\cdot\overline{dc},$$

odnosno

$$\overline{ab}(\overline{dc}-\overline{cd})=3816.$$

Dalje je redom:

$$\overline{ab}(10d+c-10c-d)=3816$$ $$\overline{ab}(9d-9c)=3816$$ $$9\cdot\overline{ab}(d-c)=3816\qquad/:9$$ $$\overline{ab}(d-c)=424$$

Dalje kao u 1. načinu rješavanja.