5. Zadatak

Kako najduljoj visini pripada najkraća stranica, očito je $b=5\ \text{cm}$. Budući da je

$$v_a=\frac{2P}{a},\qquad v_b=\frac{2P}{b}\qquad\text{i}\qquad v_c=\frac{2P}{c},$$

iz $v_b=v_a+v_c$ redom slijedi:

$$\frac{2P}{b}=\frac{2P}{a}+\frac{2P}{c},\qquad \frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c},\qquad \frac{1}{5}=\frac{a+c}{ac},\qquad ac=5a+5c,$$ $$ac-5c=5a,\qquad c(a-5)=5a,$$

te je

$$c=\frac{5a}{a-5}.$$

Dalje je

$$c=\frac{5a-25+25}{a-5}=\frac{5a-25}{a-5}+\frac{25}{a-5}=\frac{5(a-5)}{a-5}+\frac{25}{a-5}=5+\frac{25}{a-5}.$$

Broj $c$ će biti cijeli broj ako je $a-5$ djelitelj broja $25$, tj. ako je $a-5$ jednak $1$, $5$ ili $25$, odnosno $-1$, $-5$ ili $-25$.

$$a-5=1\Rightarrow a=6\ \text{cm}\Rightarrow c=30\ \text{cm}\quad\text{što je nemoguće zbog nejednakosti trokuta}$$ $$a-5=5\Rightarrow a=10\ \text{cm}\Rightarrow c=10\ \text{cm}$$ $$a-5=25\Rightarrow a=30\ \text{cm}\Rightarrow c=6\ \text{cm}\quad\text{što je nemoguće zbog nejednakosti trokuta}$$ $$a-5=-1\Rightarrow a=4\ \text{cm}\quad\text{što je nemoguće jer je najkraća stranica duljine }5\ \text{cm}$$

(ili: $a-5=-1\Rightarrow a=4\ \text{cm}\Rightarrow c=-20$, što je nemoguće)

$$a-5=-5\Rightarrow a=0\quad\text{što je nemoguće}$$ $$a-5=-25\Rightarrow a=-20\quad\text{što je nemoguće}$$

Dakle, postoji samo jedan takav trokut sa stranicama duljina $a=10\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$ i $c=10\ \text{cm}$.