2. Zadatak

Prvi način:

Na jednoj strani ulice kućni su brojevi neparni ($1,3,5,\ldots$), a s druge parni ($2,4,6,\ldots$). Kako se zbrajanjem parnih brojeva uvijek dobiva paran broj, očito je zbroj neparnih kućnih brojeva $1369$, a parnih $2162$.

Neka je $n$ broj kuća na neparnoj strani. Prvi kućni broj na toj strani je $1$, a posljednji je $2n-1$. Koristeći Gaussov princip, dobiva se

$$1+3+5+\ldots+(2n-1)=(1+2n-1)\cdot n:2=1369,$$

odnosno $n\cdot n=1369$. Traženi broj mora biti između $30$ i $40$ jer je $30\cdot30=900$, a $40\cdot40=1600$. Budući da je zadnja znamenka tog umnoška jednaka $9$, znamenka jedinica broja $n$ mora biti ili $3$ ili $7$. Provjerom se dobiva da je $n=37$ (jer je $37\cdot37=1369$).

Neka je $m$ broj kuća na parnoj strani. Prvi kućni broj na toj strani je $2$, a posljednji je $2m$. Koristeći Gaussov princip, dobiva se da je

$$2+4+6+\ldots+2m=(2+2m)\cdot m:2=2162,$$

odnosno $(m+1)\cdot m=2162$. Rastavljanjem broja $2162$ na umnožak prostih faktora dobiva se da je $2162=2\cdot23\cdot47=47\cdot46$. Odatle se zaključuje da je $m=46$.

Na jednoj je strani ulice $37$, a na drugoj $46$ kuća. U ulici su $83$ kuće.

Drugi način:

Na jednoj strani ulice kućni su brojevi neparni ($1,3,5,\ldots$), a s druge parni ($2,4,6,\ldots$). Kako se zbrajanjem parnih brojeva uvijek dobiva paran broj, očito je zbroj neparnih kućnih brojeva $1369$, a parnih $2162$.

Neka je $x$ najveći kućni broj na neparnoj strani ulice. Tada je zbroj svih kućnih brojeva na toj strani ulice jednak $1+3+\ldots+x$. Koristeći Gaussov princip nalazimo da je taj zbroj jednak

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{2}=1369,$$

tj. $(x+1)(x+1):4=1369$ ili $(x+1)(x+1)=5476$. Traženi faktor mora biti između $70$ i $80$ jer je $70\cdot70=4900$, a $80\cdot80=6400$. Budući da je zadnja znamenka tog umnoška jednaka $6$, znamenka jedinica broja $x+1$ mora biti ili $4$ ili $6$. Provjerom se dobiva da je $x+1=74$, odnosno $x=73$ (jer je $74\cdot74=5476$). Dakle, na neparnoj strani ulice najveći kućni broj je $x=73$.

Budući da je $x=2k-1$, pri čemu je $k$ prirodan broj koji označava broj kuća na neparnoj strani ulice, zaključujemo da je na neparnoj strani ulice $(73+1):2=37$ kuća.

Neka je $y$ najveći kućni broj na parnoj strani ulice. Tada je zbroj svih kućnih brojeva na toj strani ulice jednak $2+4+\ldots+y$. Koristeći Gaussov princip nalazimo da je taj zbroj jednak

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{(y+2)\cdot y}{2}=2162,$$

tj. $y\cdot(y+2):4=2162$ ili $y\cdot(y+2)=8648$. Rastavljanjem broja $8648$ na umnožak prostih faktora dobiva se da je $8648=2\cdot2\cdot2\cdot23\cdot47=(2\cdot2\cdot23)\cdot(2\cdot47)=92\cdot94$. Odatle se zaključuje da je $y=92$, tj. da je na parnoj strani ulice najveći kućni broj $92$.

Budući da je $y=2l$, pri čemu je $l$ prirodan broj koji označava broj kuća na parnoj strani ulice, zaključujemo da je na parnoj strani ulice $92:2=46$ kuća.

U ulici su $37+46=83$ kuće.