1. Zadatak

Prvi način:

Neka je $x$ duljina prvog, $y$ duljina drugog, a $z$ duljina trećeg komada tkanine. Neka je $n$ duljina jednakih dijelova tkanine nakon rezanja, tj.

$$\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}z=n$$ $$\frac{3}{4}x=n\Rightarrow x=\frac{4}{3}n,\qquad \frac{1}{2}y=n\Rightarrow y=2n,\qquad \frac{5}{6}z=n\Rightarrow z=\frac{6}{5}n$$ $$x+y+z=\frac{4}{3}n+2n+\frac{6}{5}n=34$$ $$20n+30n+18n=510$$ $$68n=510$$ $$n=7.5$$

Dalje je $x=\frac{4}{3}\cdot7.5=10$, tj. prvi komad tkanine je prije rezanja bio duljine $10\ \text{m}$, drugi komad je prije rezanja bio duljine $y=2\cdot7.5=15\ \text{m}$, a treći je komad prije rezanja bio duljine $z=\frac{6}{5}\cdot7.5=9\ \text{m}$.

Drugi način:

Neka je $x$ duljina prvog, $y$ duljina drugog, a $z$ duljina trećeg komada tkanine.

Prema uvjetu zadatka vrijedi jednakost

$$\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}z.$$

Iz $\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}y$ slijedi

$$y=\frac{3}{4}x:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}x\cdot2=\frac{3}{2}x.$$

Iz $\frac{3}{4}x=\frac{5}{6}z$ slijedi

$$z=\frac{3}{4}x:\frac{5}{6}=\frac{3}{4}x\cdot\frac{6}{5}=\frac{9}{10}x.$$

Zbog $x+y+z=34$ redom slijedi

$$x+\frac{3}{2}x+\frac{9}{10}x=34,\qquad \frac{17}{5}x=34,$$

odakle je

$$x=34:\frac{17}{5}=10\ \text{m},$$ $$y=\frac{3}{2}\cdot10=15\ \text{m}\qquad\text{i}\qquad z=\frac{9}{10}\cdot10=9\ \text{m}.$$

Prije rezanja prvi dio bio je dug $10\ \text{m}$, drugi $15\ \text{m}$ i treći $9\ \text{m}$.

Treći način:

Neka je $x$ duljina prvog, $y$ duljina drugog, a $z$ duljina trećeg komada tkanine.

Prema uvjetu zadatka vrijedi jednakost

$$\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}z.$$

Pomnožimo li dobiveni izraz brojem $12$ (jer je $V(3,4,6)=12$), dobit ćemo da je $9x=6y=10z$.

Iz $9x=10z$ slijedi $x=\frac{10z}{9}$, a iz $6y=10z$ slijedi $y=\frac{10z}{6}$.

Dalje, zbog $x+y+z=34$ redom slijedi

$$\frac{10z}{9}+\frac{10z}{6}+z=34,\qquad 20z+30z+18z=612,$$

odakle je

$$z=\frac{612}{68}=9\ \text{m}.$$

Dalje je

$$x=\frac{10\cdot9}{9}=10\ \text{m}\qquad\text{i}\qquad y=\frac{10\cdot9}{6}=15\ \text{m}.$$

Prije rezanja prvi dio bio je dug $10\ \text{m}$, drugi $15\ \text{m}$ i treći $9\ \text{m}$.

Četvrti način:

Ako grafički prikažemo zadane odnose i s $x$ označimo dijelove koji su jednake duljine, uočavamo sljedeće: odrezani dio prvog komada tkanine ima duljinu $\frac{1}{3}x$, odrezani dio drugog komada je duljine $x$ i odrezani dio trećeg komada ima duljinu $\frac{1}{5}x$. Zbrojimo li duljine svih triju komada tkanine prije rezanja, dobivamo jednadžbu

$$x+\frac{1}{3}x+x+x+x+x+\frac{1}{5}x=34,$$

čijim rješavanjem redom dobivamo

$$\frac{68}{15}x=34,\qquad x=34:\frac{68}{15},\qquad \text{tj. }x=7.5.$$