4. Zadatak
Dokaži da među bilo koja 502 prirodna broja postoje dva čiji su ili zbroj ili razlika djeljivi s 1000.
Rješenje
Broj je djeljiv s 1000 ako je njegov troznamenkasti završetak 000.
U 1. mogućem slučaju među ova 502 broja postoje dva s jednakim troznamenkastim završetkom.
Tada je njihova razlika djeljiva s 1000 i time smo utvrdili postojanje traženih brojeva.
U 2. mogućem slučaju među ova 502 broja ne postoje dva s jednakim troznamenkastim završetkom.
Primijetimo da ima 499 parova troznamenkastih završetaka čiji je zbroj 1000 i to su (001,999), (002,998), (003,997), , (498,502), (499,501) i još 2 troznamenkasta završetka 000 i 500.
Ako su među ova 502 broja jedan broj sa završetkom 000 i jedan broj sa završetkom 500, preostane još 500 brojeva s nekim drugačijim završetkom. Tada postoje dva broja koji pripadaju istom paru čiji je zbroj 1000 te smo time utvrdili postojanje traženih brojeva.
Ako među ova 502 broja samo jedan broj ima završetak ili 000 ili 500 ili niti jedan, analogno slijedi da postoje dva broja koji pripadaju istom paru čiji je zbroj 1000 te smo time utvrdili postojanje traženih brojeva.