2. Zadatak

Vrijedi $\frac{149}{33}=\frac{m}{3}+\frac{n}{11}$, pri čemu su $m$ i $n$ prosti brojevi.

Dalje je $11m+3n=149$.

$$3n=149-11m$$ $$n=\frac{149-11m}{3}=\frac{147-12m+2+m}{3}=49-4m+\frac{2+m}{3}$$ $$n\in\mathbb{Z}\Longleftrightarrow\frac{2+m}{3}\in\mathbb{Z}\Longleftrightarrow 2+m=3k,\ k\in\mathbb{Z}\Longleftrightarrow m=3k-2,\ k\in\mathbb{Z}$$ $$n=49-12k+8+k=57-11k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

S obzirom da su $m$ i $n$ prirodni brojevi, onda je $3k-2>0$ i $57-11k>0$.

Slijedi $k>\frac{2}{3}$ i $k<\frac{57}{11}$ što znači $k\in\{1,2,3,4,5\}$.

Za $k=1$ je $m=1$, $n=46$ što nisu prosti brojevi.

Za $k=2$ je $m=4$, $n=35$ što nisu prosti brojevi.

Za $k=3$ je $m=7$, $n=24$, a broj 24 nije prost broj.

Za $k=4$ je $m=10$, $n=13$, a broj 10 nije prost broj.

Za $k=5$ je $m=13$, $n=2$.

Traženi zapis je

$$\frac{149}{33}=\frac{13}{3}+\frac{2}{11}.$$