5. Zadatak

U trokutu $\triangle ABC$ je $|\angle ABC| = 45^\circ$ . Na stranici $\overline{BC}$ dana je točka D tako da je $|CD| = 2|BD|$ i $|\angle BDA| = 120^\circ$ . Odredi veličine kutova trokuta $\triangle ABC$ .

Rješenje

Nacrtamo okomicu iz C na $\overline{AD}$ te neka je E točka presjeka te okomice i dužine $\overline{AD}$ .

Trokut ABC s točkom D na BC i točkom E na AD; CE je okomica na AD, a kut BDA iznosi 120 stupnjeva.

S obzirom da je $|\angle CDE| = 180^\circ - |\angle BDA| = 60^\circ$ i $|\angle CED| = 90^\circ$ , onda je $|\angle DCE| = 30^\circ$ pa je $\triangle CED$ polovica jednakostraničnog trokuta što znači da je $|CD| = 2 \cdot |DE|$ . Kako je $|CD| = 2 \cdot |BD|$ , slijedi da je $|DE| = |BD|$ . To znači da je $\triangle DEB$ jednakokračan te vrijedi $|\angle DEB| = |\angle EBD| = \frac{180^\circ - |\angle BDE|}{2} = 30^\circ$ . Dalje je $|\angle BEA| = 180^\circ - |\angle DEB| = 150^\circ$ , $|\angle ABE| = |\angle ABC| - |\angle EBD| = 15^\circ$ i $|\angle EAB| = 180^\circ - |\angle BEA| - |\angle ABE| = 15^\circ$ što znači da je $\triangle ABE$ jednakokračan odnosno $|AE| = |BE|$ . Budući da je $|\angle CEB| = |\angle CED| + |\angle DEB| = 120^\circ$ i $|\angle EBD| = 30^\circ$ , onda je $|\angle BCE| = 30^\circ$ pa je $\triangle BCE$ jednakokračan odnosno $|BE| = |CE|$ . Dakle, $|AE| = |CE|$ pa je $\triangle AEC$ jednakokračan pravokutan. Na kraju, $|\angle ABC| = 45^\circ$ , $|\angle BCA| = |\angle BCE| + |\angle ECA| = 75^\circ$ i $|\angle CAB| = |\angle CAE| + |\angle EAB| = 60^\circ$ .