1. Zadatak

Prvi način:

Broj $a$ možemo zapisati u obliku:

$$a=3\cdot11\ 111\ 111\cdot4\cdot11\ 111\ 111\cdot5\cdot11\ 111\ 111,$$

odnosno

$$a=3\cdot4\cdot5\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111=60\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111.$$

Na isti način i broj $b$ možemo zapisati u obliku:

$$b=6\cdot11\ 111\ 111\cdot7\cdot11\ 111\ 111\cdot8\cdot11\ 111\ 111,$$

odnosno

$$b=6\cdot7\cdot8\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111=336\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111.$$

Sada vidimo da je zbroj zadanih brojeva jednak:

$$a+b=60\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111+336\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111$$ $$a+b=(60+336)\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111$$

Dakle, zbroj brojeva $a$ i $b$ možemo pisati u obliku umnoška:

$$a+b=396\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111\cdot11\ 111\ 111$$

Broj $a+b$ je djeljiv brojem $9$ jer je faktor $396$ djeljiv brojem $9$.

Drugi način:

Broj $a$ je oblika $(9k_1+6)\cdot(9k_2+5)\cdot(9k_3+4)$, gdje su $k_1$, $k_2$ i $k_3$ prirodni brojevi, a $b$ oblika $(9l_1+3)\cdot(9l_2+2)\cdot(9l_3+1)$, gdje su $l_1$, $l_2$ i $l_3$ prirodni brojevi.

Kako je $6\cdot5\cdot4=120=9\cdot13+3$, slijedi da je $a$ oblika $9m+3$, gdje je $m$ prirodan broj, a iz $3\cdot2\cdot1=6$ slijedi da je $b$ oblika $9n+6$, gdje je $n$ prirodan broj.

Stoga je $a+b=9m+3+9n+6=9(m+n+1)$, pa je $a+b$ djeljiv s $9$.