5. Zadatak

Zadan je pravokutnik $ABCD$ . Neka je $E$ točka unutar pravokutnika takva da je trokut $\triangle BCE$ jednakostraničan i neka je točka $F$ takva da je trokut $\triangle CDF$ također jednakostraničan. Točka $F$ nalazi se s druge strane pravca $AB$ u odnosu na vrhove pravokutnika $C$ i $D$ . Dokaži da je trokut $\triangle AEF$ jednakostraničan.

Skica:

Skica pravokutnika ABCD i jednakostraničnih trokuta BCE i CDF

Prvi način:

Budući da je $|AD|=|BC|=|BE|=b$ , $|AB|=|CD|=|DF|=a$ i $|\angle ADF|=|\angle EBA|=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ , po poučku o sukladnosti trokuta SKS slijedi da je $\triangle AFD\cong\triangle ABE$ , pa vrijedi da je $|AF|=|AE|$ .

Na sličan način dokazujemo da je $\triangle AFD\cong\triangle FCE$ .

Vrijedi da je $|BE|=|EC|=b$ , $|DF|=|CF|=a$ , te da je $|\angle DCF|=60^\circ$ , $|\angle ECB|=60^\circ$ i $|\angle DCB|=90^\circ$ .

tj. $|\angle ECF|=30^\circ$ .

Po poučku o sukladnosti trokuta SKS slijedi da je $\triangle AFD\cong\triangle FCE$ , pa vrijedi da je $|EF|=|AF|$ .

Time je dokazano da stranice trokuta $AFE$ imaju jednake duljine, tj. da je $\triangle AFE$ jednakostraničan.

Drugi način:

Iz uvjeta zadatka ( $\triangle BCE$ i $\triangle FCD$ su jednakostranični) proizlazi $|\angle FCD|=|\angle CDF|=|\angle DFC|=60^\circ$ i $|\angle EBC|=|\angle BCE|=|\angle CEB|=60^\circ$ te $|AD|=|BC|=|BE|=b$ , $|AB|=|CD|=|DF|=a$ .

Budući da je $|AD|=|BE|=b$ , $|AB|=|DF|=a$ i $|\angle ADF|=|\angle EBA|=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ , po poučku o sukladnosti trokuta SKS vrijedi da je $\triangle AFD\cong\triangle AEB$ , iz čega slijedi $|AF|=|AE|$ .

Sada se iz $|BE|=|EC|=b$ , $|DF|=|CF|=a$ i $|\angle ECF|=|\angle ADF|=30^\circ$ može zaključiti da po poučku o sukladnosti trokuta SKS vrijedi $\triangle AFD\cong\triangle ECF$ , iz čega slijedi $|AF|=|EF|$ .

Kako je $|AF|=|AE|$ i $|AF|=|EF|$ , slijedi $|AF|=|AE|=|EF|$ , čime je tvrdnja dokazana, tj. $\triangle AFE$ jest jednakostraničan trokut.