5. Zadatak
Dan je prirodni broj i konveksan mnogokut s vrhova. Svaka od stranica i dijagonala tog mnogokuta obojana je plavom ili crvenom bojom. Odredi najmanji takav da, za svako takvo bojanje, postoje tri vrha promatranog mnogokuta koja su međusobno spojena dužinama iste boje.
Za , stranice obojimo u jednu, npr. plavu boju, a dijagonale u drugu – crvenu boju. Tada je očito da ne postoji trokut čiji su vrhovi vrhovi tog četverokuta, a sve stranice su obojane u istu boju.
Za , stranice obojimo u jednu, npr. plavu boju, a dijagonale u drugu – crvenu boju. Tada je očito da ne postoji trokut čiji su vrhovi vrhovi tog peterokuta, a sve stranice su obojane u istu boju.
Time smo dokazali da je traženi .
Dokažimo sada da za svaki šesterokut vrijedi da, na koji god način obojali svaku od stranica i dijagonala tog šesterokuta u plavu ili crvenu boju, mora postojati barem jedan trokut čiji su vrhovi ujedno vrhovi tog šesterokuta i čije su stranice sve obojane u istu boju.
Uočimo jedan vrh tog šesterokuta, nazovimo ga A. Iz njega izlazi pet spojnica s drugim vrhovima koje su obojane ili u plavu ili u crvenu boju.
Kako je , prema Dirichletovom principu, postoji boja takva da su barem tri takve spojnice obojane u tu boju. Npr. neka je to crvena boja.
Označimo vrhove koji određuju te spojnice s vrhom A npr. s B, C i D, pa su crvene spojnice , i .
Ako je barem jedna od spojnica , ili obojana u crvenu boju, imamo istobojni (crveni) trokut.
Ako nije, onda je trokut istobojan (plavi).