4. Zadatak

Iz uvjeta zadatka slijedi da točke B, C, D i E pripadaju istoj kružnici sa središtem u A duljine polumjera 1 te da je $\overline{BE}$ promjer te kružnice.

Potrebno je izračunati $|BD|$, $|CE|$ i $|DE|$.

Prema Talesovom poučku, kut $\angle ECB$ je pravi pa primjenom Pitagorinog poučka na $\triangle CEB$ dobivamo:

$$|CE|^2=|BE|^2-|BC|^2$$ $$|CE|^2=2^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2$$ $$|CE|^2=\frac{15}{4}$$

odnosno, $|CE|=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Nadalje, po poučku S-S-S o sukladnosti trokuta vrijedi $\triangle ABC\cong\triangle ACD$ pa je $|\angle ACB|=|\angle DCA|$.

Neka je točka P sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta vrijedi $\triangle BCP\cong\triangle CDP$.

To znači da je $|\angle BPC|=|\angle CPD|=90^\circ$. Zato je $\overline{BP}$ visina trokuta $\triangle ABC$.

Neka je N nožište visine trokuta $\triangle ABC$ povučene iz vrha A. Kako je $\triangle ABC$ jednakokračan, onda je

$$|AN|^2=|AC|^2-|CN|^2$$ $$|AN|^2=1^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2$$ $$|AN|^2=\frac{15}{16}$$ $$|AN|=\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Prema poučku K-K o sličnosti trokuta vrijedi $\triangle ANC\sim\triangle BCP$ pa je

$$\frac{|BP|}{|BC|}=\frac{|AN|}{|AC|}$$ $$|BP|=\frac{|AN|}{|AC|}\cdot|BC|$$ $$|BP|=\frac{1}{|AC|}\cdot|AN|\cdot|BC|$$ $$|BP|=\frac{1}{1}\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}}{8}.$$

Nadalje, $|BD|=2\cdot|BP|=2\cdot\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Konačno, prema Talesovom poučku, kut $\angle EDB$ je pravi pa primjenom Pitagorinog poučka na $\triangle DEB$ dobivamo:

$$|DE|^2=|BE|^2-|BD|^2$$ $$|DE|^2=2^2-\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2$$ $$|DE|=\frac{7}{4}.$$

Napomena: $|BP|$ smo mogli izračunati i izražavajući površinu trokuta $\triangle ABC$ na dva načina:

$$\frac{|BC|\cdot|AN|}{2}=\frac{|AC|\cdot|BP|}{2}.$$