3. Zadatak

Dokažimo najprije da je ostatak pri dijeljenju kvadrata prirodnog broja s 4 uvijek 0 ili 1, odnosno ne može biti niti 2 niti 3.

Naime, svaki se prirodan broj može zapisati na jedan od četiri načina:

$$4k+1,\quad 4k+2,\quad 4k+3\quad \text{ili}\quad 4k+4=4(k+1),\quad k\in\mathbb{N}_0.$$

Kvadrirajmo ove izraze i promotrimo ostatke pri dijeljenju s četiri:

$$(4k+1)^2=16k^2+8k+1,$$

stoga je ostatak pri dijeljenju s 4 jednak 1.

$$(4k+2)^2=16k^2+16k+4,$$

stoga je ostatak pri dijeljenju s 4 jednak 0.

$$(4k+3)^2=16k^2+24k+9=16k^2+24k+8+1=8(2k^2+3k+1)+1,$$

stoga je ostatak pri dijeljenju s 4 jednak 1.

$$(4(k+1))^2=16(k+1)^2,$$

stoga je ostatak pri dijeljenju s 4 jednak 0.

Zaključujemo da kvadrat bilo kojeg prirodnog broja pri dijeljenju s 4 daje ostatak 0 ili 1, odnosno, ne može biti niti 2 niti 3.

Napomena: Možemo to dokazati i na drugi način. Ako je prirodan broj paran, odnosno oblika $2k$, onda je njegov kvadrat jednak $4k^2$, tj. djeljiv s 4 (ostatak je 0). Ako je prirodan broj neparan, odnosno oblika $2k+1$, onda je njegov kvadrat jednak $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ pa daje ostatak 1 pri dijeljenju s 4.

Pokažimo sada da, za neparan prirodan broj $n$, broj $m(m+2)+n(n+2)$ pri dijeljenju s 4 daje ostatak 2 ili 3.

Naime, brojevi $n$ i $n+2$ su dva uzastopna neparna prirodna broja pa daju ostatke 1 i 3 pri dijeljenju s 4, što znači da $n(n+2)$ daje ostatak $1\cdot3=3$ pri dijeljenju s 4.

1. Ako je $m$ neparan, onda i $m(m+2)$ daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4, pa $m(m+2)+n(n+2)$ daje ostatak 2 pri dijeljenju s 4.

2. Ako je $m$ paran, onda je $m(m+2)$ djeljivo s 4, pa $m(m+2)+n(n+2)$ daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4.

Dakle, s obzirom da, za neparan prirodan broj $n$, broj $m(m+2)+n(n+2)$ daje ostatak 2 ili 3 pri dijeljenju s 4, a kvadrat prirodnog broja ne može dati ostatke 2 i 3 pri dijeljenju s 4, slijedi da $m(m+2)+n(n+2)$ ne može biti kvadrat prirodnog broja.