2. Zadatak

Prvi način:

Kako je ukupan broj kvadrata $2n+1$, srednji kvadrat je $(n+1)$-vi po redu, pa se pravokutni trokut $\triangle LON$ nalazi u $(n+1)$-vom kvadratu. Kako je kvadrat $(n+1)$-vi u nizu, $|LO|=n+1$. Vrijedi i $|FG|=2n+1$.

Označimo duljine dužina $\overline{ON}$ i $\overline{LN}$ redom s $x$ i $y$ te izračunamo njihove duljine.

$\triangle LON\sim\triangle AFG$ prema poučku K-K jer su oba pravokutna i $\angle OLN\cong\angle FAG$ jer su to šiljasti kutovi uz presječnicu.

Iz sličnosti slijedi

$$\frac{x}{n+1}=\frac{2n+1}{|AF|}.$$

Kako je $|AF|=1+2+\dots+2n+1=\frac{(2n+1)\cdot(2n+2)}{2}=(2n+1)\cdot(n+1)$, dobijemo:

$$\frac{x}{n+1}=\frac{2n+1}{(2n+1)\cdot(n+1)}$$ $$\frac{x}{n+1}=\frac{1}{n+1}$$ $$x=1.$$

Kako je trokut $\triangle LON$ pravokutan, vrijedi:

$$\begin{aligned} y^2&=(n+1)^2+x^2\\ y^2&=(n+1)^2+1^2\\ y^2&=n^2+2n+1+1\\ y^2&=n^2+2n+2,\quad y>0\\ y&=\sqrt{n^2+2n+2}. \end{aligned}$$

Konačno, opseg pravokutnog trokuta $\triangle LON$ je $o=n+2+\sqrt{n^2+2n+2}$, a njegova je površina

$$P=\frac{(n+1)\cdot1}{2}=\frac{n+1}{2}.$$

Drugi način:

Kako je ukupan broj kvadrata $2n+1$, srednji kvadrat je $(n+1)$-vi po redu, pa se pravokutni trokut $\triangle LON$ nalazi u $(n+1)$-vom kvadratu. Odredimo duljine stranica tog trokuta. Kako je kvadrat $(n+1)$-vi u nizu, $|LO|=n+1$.

Označimo duljine dužina $\overline{KL}$ i $\overline{MN}$ redom s $x$ i $y$ te izračunamo njihove duljine.

$\triangle AKL\sim\triangle AFG$ prema poučku K-K jer su oba pravokutna, a kut pri vrhu A im je zajednički.

Iz sličnosti slijedi $|AK|:x=|AF|:|FG|$.

Odredimo duljine dužina $\overline{AK}$ i $\overline{AF}$:

$$|AK|=1+2+\dots+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$ $$|AF|=1+2+\dots+2n+1=\frac{(2n+1)\cdot(2n+2)}{2}=(2n+1)\cdot(n+1).$$

Kako je $|FG|=2n+1$, imamo:

$$x=\frac{|AK|\cdot|FG|}{|AF|}=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{2\cdot(2n+1)\cdot(n+1)}=\frac{n}{2}.$$

$\triangle AMN\sim\triangle AFG$ prema poučku K-K jer su oba pravokutna, a kut pri vrhu A im je zajednički.

Iz sličnosti slijedi $|AM|:y=|AF|:|FG|$.

Odredimo duljinu dužine $\overline{AM}$:

$$|AM|=1+2+\dots+n+1=\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}.$$

Kako je $|AF|=(2n+1)\cdot(n+1)$ i $|FG|=2n+1$, imamo:

$$y=\frac{|AM|\cdot|FG|}{|AF|}=\frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot(2n+1)}{2\cdot(2n+1)\cdot(n+1)}=\frac{n+2}{2}.$$

Sada je:

$$|ON|=y-x=\frac{n+2}{2}-\frac{n}{2}=1.$$

Kako su duljine kateta pravokutnog trokuta $\triangle LON$ jednake $n+1$ i 1, duljina hipotenuze je:

$$|LN|=\sqrt{(n+1)^2+1^2}=\sqrt{n^2+2n+2}.$$

Konačno, opseg pravokutnog trokuta $\triangle LON$ je $o=n+2+\sqrt{n^2+2n+2}$, a njegova je površina

$$P=\frac{(n+1)\cdot1}{2}=\frac{n+1}{2}.$$