4. Zadatak

Ivan izrađuje crvene, zelene, plave i žute zastavice oblika jednakokračnog trokuta. Svim zastavicama su osnovice jednake duljine. Crvenoj zastavici je krak dulji od osnovice za $\frac12$ duljine te osnovice. Zelenoj zastavici je krak dulji od kraka crvene za $\frac13$ njegove duljine. Plavoj zastavici je krak dulji od kraka zelene za $\frac14$ njegove duljine, a žutoj je krak dulji od kraka plave za $\frac15$ njegove duljine. Treba sašiti po 50 zastavica svake boje i sve ih treba obrubiti trakom srebrne boje. Koliko će se metara srebrne trake utrošiti ako se zna da za rub crvene zastavice treba 40 cm trake?

Prvo rješenje.

Krenimo od crvene zastavice čiji je opseg 40 cm.

Crvenoj zastavici je krak dulji od osnovice za $\frac12$ duljine te osnovice.

Podijelimo li osnovicu na 2 dijela i svaki dio označimo s $x$ , zaključujemo da je duljina osnovice $2x$ , duljina kraka $3x$ .

Jednakokračni trokut s osnovicom 2x i krakovima 3x

Opseg crvenog trokuta je $2x+3x+3x=40$ .

\begin{aligned} 8x&=40\\ x&=5 \end{aligned}

to znači da je duljina osnovice crvene zastavice $2\cdot5=10$ cm,

a duljina kraka crvene zastavice $3\cdot5=15$ cm.

Trećina od 15 je 5, pa je duljina kraka zelene zastavice $15+5=20$ cm.

Četvrtina od 20 je 5, pa je duljina kraka plave zastavice $20+5=25$ cm.

Petina od 25 je 5, pa je duljina kraka žute zastavice $25+5=30$ cm.

Crveni, zeleni, plavi i žuti jednakokračni trokut s označenim duljinama stranica

Svima zastavicama su jednake duljine osnovica.

Duljina srebrne trake za sve zastavice je:

\begin{aligned} &(10+2\cdot15+10+2\cdot20+10+2\cdot25+10+2\cdot30)\cdot50=\\ &=(40+30+40+50+60)\cdot50\\ &=220\cdot50\\ &=11\ 000\ \text{cm}\\ &=110\ \text{m}. \end{aligned}

Potrebno je 110 m srebrne trake za obrubljivanje.

Drugo rješenje.

Označimo duljinu osnovica svih trokuta sa $a$ .

Tada je krak crvenog trokuta $a+0.5a=1.5a$ .

Krak zelenog trokuta je $1.5a+\frac13\cdot1.5a=1.5a+0.5a=2a$ .

Krak plavog trokuta je $2a+\frac14\cdot2a=2a+0.5a=2.5a$ .

Krak žutog trokuta je $2.5a+\frac15\cdot2.5a=2.5a+0.5a=3a$ .

Iz opsega crvenog trokuta zaključujemo

\begin{aligned} a+1.5a+1.5a&=40\\ 4a&=40\\ a&=10 \end{aligned}

Opseg plavog trokuta je $a+2a+2a=5a$ , zelenog $a+2.5a+2.5a=6a$ , a žutog $a+3a+3a=7a$ .

Duljina srebrne trake koja je potrebna iznosi

\begin{aligned} 50\cdot(4a+5a+6a+7a)&\\ =50\cdot22\cdot a&=110\ 000\ \text{cm}\\ &=110\ \text{m}. \end{aligned}