3. Zadatak

Označimo s $D(n)$ skup svih djelitelja prirodnog broja $n$.

Ako je $a$ prost broj i ako je $n=a\cdot a$, tada je $D(n)=\{1,a,n\}$, pa $n$ ima 3 djelitelja.

…ako je $n=a\cdot a\cdot a$, tada je $D(n)=\{1,a,a\cdot a,n\}$, pa $n$ ima 4 djelitelja.

…ako je $n=a\cdot a\cdot a\cdot a$, tada je $D(n)=\{1,a,a\cdot a,a\cdot a\cdot a,n\}$, pa $n$ ima 5 djelitelja.

Ako su $a$ i $b$ prosti brojevi i ako je $n=a\cdot b$, tada je $D(n)=\{1,a,b,n\}$, pa $n$ ima 4 djelitelja.

…ako je $n=a\cdot a\cdot b$, tada je $D(n)=\{1,a,b,a\cdot a,a\cdot b,n\}$, pa $n$ ima 6 djelitelja,

i tako dalje, $n$ će imati sve više djelitelja.

Zaključujemo da $n$ mora biti jednak umnošku $a\cdot a\cdot a\cdot a$, gdje je $a$ neki prost broj.

Budući da je $17\cdot17\cdot17\cdot17=83\ 521<100\ 000$, a $19\cdot19\cdot19\cdot19=130\ 321>100\ 000$, zaključujemo da $a$ može biti 2, 3, 5, 7, 11, 13 ili 17.

Dakle, traženih brojeva ima 7.

Napomena: Traženi brojevi su:

$$\begin{aligned} 2\cdot2\cdot2\cdot2&=16,\\ 3\cdot3\cdot3\cdot3&=81,\\ 5\cdot5\cdot5\cdot5&=625,\\ 7\cdot7\cdot7\cdot7&=2401,\\ 11\cdot11\cdot11\cdot11&=14\ 641,\\ 13\cdot13\cdot13\cdot13&=28\ 561,\\ 17\cdot17\cdot17\cdot17&=83\ 521. \end{aligned}$$