5. Zadatak

Visina $\overline{CE}$ dijeli trokut $\triangle ABC$ na dva međusobno slična trokuta koji su i slični zadanom trokutu (jednaki kutovi – tm K-K o sličnosti).

Vrijedi $\triangle ABC\sim\triangle ACE$ pa je

$$\frac{\lvert AE\rvert}{\lvert AC\rvert}=\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert BC\rvert}$$

odnosno

$$\lvert AE\rvert=\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert BC\rvert}\cdot\lvert AC\rvert.$$

Isto tako vrijedi $\triangle ABC\sim\triangle CBE$ pa je

$$\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert AC\rvert}=\frac{\lvert EB\rvert}{\lvert BC\rvert}$$

odnosno

$$\lvert EB\rvert=\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert AC\rvert}\cdot\lvert BC\rvert.$$

Za površine $\triangle ADC$ i $\triangle BCD$ vrijedi

$$P_{\triangle ADC}=\frac{\lvert AD\rvert\cdot\lvert EC\rvert}{2}=\frac{\lvert AC\rvert\cdot\lvert DK\rvert}{2}$$

i

$$P_{\triangle BCD}=\frac{\lvert DB\rvert\cdot\lvert EC\rvert}{2}=\frac{\lvert BC\rvert\cdot\lvert DL\rvert}{2}$$

pa je

$$\frac{\lvert AC\rvert\cdot\lvert DK\rvert}{\lvert BC\rvert\cdot\lvert DL\rvert} =\frac{\lvert AD\rvert\cdot\lvert EC\rvert}{\lvert DB\rvert\cdot\lvert EC\rvert} =\frac{\lvert AD\rvert}{\lvert DB\rvert} =\frac mn.$$

Kako je točka $D$ na simetrali kuta $\angle ACB$, onda je $\lvert DK\rvert=\lvert DL\rvert$.

Dakle,

$$\frac{\lvert AC\rvert}{\lvert BC\rvert}=\frac mn.$$

Na kraju,

$$\begin{aligned} \lvert AE\rvert:\lvert EB\rvert &=\frac{\lvert AE\rvert}{\lvert EB\rvert}\\ &=\frac{\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert BC\rvert}\cdot\lvert AC\rvert} {\frac{\lvert EC\rvert}{\lvert AC\rvert}\cdot\lvert BC\rvert}\\ &=\frac{\lvert AC\rvert^2}{\lvert BC\rvert^2} =\frac{m^2}{n^2} =m^2:n^2. \end{aligned}$$