1. Zadatak

Da bismo riješili zadanu jednadžbu potrebno je izvršiti djelomičnu racionalizaciju razlomaka na lijevoj strani jednadžbe.

Tako ćemo prvi razlomak proširiti s $\sqrt2-1$, drugi s $\sqrt3-\sqrt2$ itd.

Nakon izvršene racionalizacije zadana jednadžba poprima oblik:

$$\begin{aligned} x&+\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2} +\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt3} +\frac{\sqrt4-\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt4}+\ldots\\ &+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{49}}{\sqrt{49}\cdot\sqrt{50}} =1-\frac1{\sqrt{50}}. \end{aligned}$$

Dobivenu jednadžbu možemo transformirati tako da poprimi sljedeći oblik:

$$\begin{aligned} x&+\frac{\sqrt2}{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2} +\frac{\sqrt3}{\sqrt2\cdot\sqrt3}-\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt3}+\ldots\\ &+\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}\cdot\sqrt{50}}-\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{49}\cdot\sqrt{50}} =1-\frac1{\sqrt{50}}. \end{aligned}$$

Skraćivanjem razlomaka imamo da je:

$$x+1-\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt3}+\frac1{\sqrt3}-\frac1{\sqrt4}+\ldots+\frac1{\sqrt{49}}-\frac1{\sqrt{50}}=1-\frac1{\sqrt{50}}.$$

Zbrajanjem izraza na lijevoj strani konačno dobivamo rješenje jednadžbe

$$x+1-\frac1{\sqrt{50}}=1-\frac1{\sqrt{50}},$$

odnosno $x=0$.