4. Zadatak

Neka je $\lvert SD\rvert=d$.

Trokut $\triangle SDC$ je pravokutni trokut sa šiljastim kutovima veličina $30^\circ$ i $60^\circ$, tj. polovina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $d$.

Dužina $\overline{SC}$ je visina tog jednakostraničnog trokuta, pa vrijedi

$$\frac{d\sqrt3}{2}=r,$$

odakle slijedi

$$d=\frac{2r\sqrt3}{3}.$$

Hipotenuza pravokutnog trokuta $\triangle SCD$ ima duljinu $\frac{2r\sqrt3}{3}$, a kateta $\overline{DC}$ je upola kraća odnosno ima duljinu $\frac{r\sqrt3}{3}$.

Površina trokuta $\triangle SDC$ iznosi

$$P_{\triangle}=\frac{r\cdot\frac{r\sqrt3}{3}}{2}=\frac{r^2\sqrt3}{6}.$$

Površina kružnog isječka sa središnjim kutom od $30^\circ$ iznosi

$$P_i=\frac{r^2\cdot\pi\cdot30^\circ}{360^\circ}=\frac{r^2\cdot\pi}{12}.$$

Površina zadanog lika je

$$P=\frac{r^2\sqrt3}{6}-\frac{r^2\cdot\pi}{12}=\frac{r^2}{12}(2\sqrt3-\pi).$$

Kružni luk $BC$ ima duljinu

$$l=\frac{r\cdot\pi\cdot30^\circ}{180^\circ}=\frac{r\cdot\pi}{6},$$

a opseg zadanog lika je

$$O=\frac{r\pi}{6}+\frac{r\sqrt3}{3}+\frac{2r\sqrt3}{3}-r =\frac{r\pi}{6}+r\sqrt3-r =r\left(\frac\pi6+\sqrt3-1\right).$$