2. Zadatak

Prvi način:

Kako je trokut EBC jednakokračan pravokutan, vrijedi $|\angle ECB|=|\angle BEC|=45^\circ$.

Budući da je ABCD pravokutnik, slijedi $|\angle FCE|=90^\circ-|\angle ECB|=45^\circ$.

S obzirom da točka E pripada simetrali EF dijagonale $\overline{AC}$, onda je $|EA|=|EC|$ što znači da je trokut AEC jednakokračan.

Tada je $|\angle ACE|=|\angle EAC|$.

Dalje vrijedi $|\angle EAC|=|\angle FCA|$ jer su to šiljasti kutovi s usporednim kracima.

Dakle,

$$|\angle ACE|=|\angle FCA|=\frac{|\angle FCE|}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22.5^\circ.$$

Kako je $|\angle DFE|$ vanjski kut trokuta CFS, vrijedi

$$|\angle DFE|=|\angle CSF|+|\angle FCA|=90^\circ+22.5^\circ=112.5^\circ.$$

Drugi način:

Kako je trokut EBC jednakokračan i pravokutan, vrijedi $|\angle ECB|=|\angle BEC|=45^\circ$.

Pravac FE je simetrala dijagonale $\overline{AC}$ pa je S polovište dužine $\overline{AC}$ i vrijedi $FE\perp AC$. Zato je $\triangle AES\cong\triangle CES$ (prema poučku S-K-S - jedna zajednička kateta, pravi kut i $|AS|=|SC|$).

Slijedi da je $|\angle SEA|=|\angle CES|$. Kako je $|\angle SEA|+|\angle CES|+|\angle BEC|=180^\circ$, slijedi

$$2|\angle CES|=180^\circ-45^\circ\quad\text{odnosno}\quad|\angle CES|=\frac{135^\circ}{2}=67.5^\circ.$$

Konačno, kako je ABCD pravokutnik, to je $AB\parallel CD$, a za kutove s paralelnim kracima vrijedi

$$|\angle DFE|=|\angle BEF|=|\angle CEF|+|\angle BEC|=67.5^\circ+45^\circ=112.5^\circ=112^\circ30'.$$