5. Zadatak
Na nekom Državnom natjecanju sudjelovalo je 290 učenika. Dokaži da se može odabrati 18 učenika među njima koji žive u istom naselju ili žive u 18 različitih naselja.
Prvi način:
U 1. mogućem slučaju natjecatelji žive u 18 ili više različitih naselja.
Tada iz nekih 18 različitih naselja u kojima žive odaberemo po 1 učenika i time smo izvršili traženi odabir.
U 2. mogućem slučaju natjecatelji žive u 17 različitih naselja.
U tom slučaju nije moguće odabrati 18 učenika koji žive u 18 različitih naselja.
Kada bi u svakom od tih naselja bilo najviše po 17 učenika, tada bi u tih 17 naselja bilo najviše učenika. Kako je ukupan broj učenika 290, u nekom od tih 17 naselja živi barem 18 učenika. Iz takvog naselja odaberemo 18 učenika i time smo izvršili traženi odabir.
U 3. mogućem slučaju natjecatelji žive u 16 ili manje različitih naselja.
U tom slučaju (analogno kao u 2. slučaju) u nekom od tih naselja živi barem 18 učenika pa iz takvog naselja odaberemo 18 učenika i imamo traženi odabir.
Drugi način:
Pretpostavimo da se ne može odabrati 18 učenika koji žive u istom naselju niti 18 učenika koji dolaze iz 18 različitih naselja.
To znači da svi učenici dolaze iz najviše 17 naselja i iz svakog naselja dolazi najviše 17 učenika.
U tom slučaju bi najveći mogući broj učenika bio , a na natjecanju je 290 učenika (jedan više).
Dakle, pretpostavka je bila netočna pa iz jednog naselja dolazi (barem) 18 učenika ili se može odabrati 18 učenika iz 18 različitih naselja, a što je i trebalo dokazati.