3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\overline{19ab}$ godina tetinog rođenja.

1. slučaj: Teta je dvadeseti rođendan navršila u 20. stoljeću.

Tada je $\overline{19ab}+20=\overline{19(a+2)b}$ godina njezinog 20. rođendana pa iz uvjeta zadatka vrijedi:

$$1999-\overline{19ab}=2\cdot(1+9+a+2+b)$$ $$1999-1900-\overline{ab}=2\cdot(12+a+b)$$ $$99-10a-b=24+2a+2b.$$

Sada je $75=12a+3b$, odnosno $25=4a+b$.

Zbroj je neparan ako je jedan pribrojnik paran, a drugi neparan pa je $b$ neparan, tj. $b\in\{1,3,5,7,9\}$.

Promotrimo sve mogućnosti pomoću tablice:

$b$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$4a$	$24$	$22$	$20$	$18$	$16$
$a$	$6$	$\notin$	$5$	$\notin$	$4$

Godine tetinog rođenja mogu biti $1961.$, $1955.$ i $1949.$

2. slučaj: Teta je dvadeseti rođendan navršila u 21. stoljeću.

U tom slučaju teta se rodila poslije $1979.$ pa je $a\in\{8,9\}$.

• Ako je $a=8$ onda je godina njezinog 20. rođendana veća ili jednaka $2000.$, a manja ili jednaka $2009.$ tj. $\overline{198b}+20=\overline{200b}$ je godina tetinog 20. rođendana. Iz uvjeta zadatka vrijedi: $1999-\overline{198b}=2\cdot(2+0+0+b)$, $19-b=4+2b$. Sada je $3b=15$, odnosno $b=5$. Godina tetinog rođenja može biti $1985.$
• Ako je $a=9$ onda je godina njezinog 20. rođendana veća ili jednaka $2010.$, a manja ili jednaka $2019.$ tj. $\overline{199b}+20=\overline{201b}$ je godina tetinog 20. rođendana. Iz uvjeta zadatka vrijedi: $1999-\overline{199b}=2\cdot(2+0+1+b)$, $9-b=6+2b$. Sada je $3b=3$, odnosno $b=1$. Godina tetinog rođenja može biti $1991.$

Lovrina teta se mogla roditi $1949.$, $1955.$, $1961.$, $1985.$ ili $1991.$ godine.

Drugo rješenje.

Zbog uvjeta zadatka Lovrina teta rodila se prije $1999.$ godine pa je 20. rođendan proslavila prije $2019.$ godine.

Od svih prirodnih brojeva manjih od $2019$, broj $1999$ ima najveći zbroj znamenaka pa je dvostruki zbroj znamenaka najviše $2\cdot(1+9+9+9)=56$. Dakle, Lovrina se teta nije mogla roditi prije $1998-56=1942.$ godine.

Budući da u $1999.$ godini navršava paran broj godina (dvostruki zbroj znamenaka je paran broj) ona se rodila u neparnoj godini.

Godina njenog rođenja je oblika $\overline{19ab}$, $a\in\{4,5,6,7,8,9\}$, $b\in\{1,3,5,7,9\}$.

Prikažimo tablicom sve mogućnosti.

Godina rođenja	Starost 1999. godine	Godina kad navršava 20. rođendan	Dvostruki zbroj znamenaka godine kad navršava 20. rođendan
1943.	56	1963.	38
1945.	54	1965.	42
1947.	52	1967.	46
1949.	50	1969.	50
1951.	48	1971.	36
1953.	46	1973.	40
1955.	44	1975.	44
1957.	42	1977.	48
1959.	40	1979.	52
1961.	38	1981.	38
1963.	36	1983.	42
1965.	34	1985.	46
1967.	32	1987.	50
1969.	30	1989.	54
1971.	28	1991.	40
1973.	26	1993.	44
1975.	24	1995.	48
1977.	22	1997.	52
1979.	20	1999.	56
1981.	18	2001.	6
1983.	16	2003.	10
1985.	14	2005.	14
1987.	12	2007.	18
1989.	10	2009.	22
1991.	8	2011.	8
1993.	6	2013.	12
1995.	4	2015.	16
1997.	2	2017.	20

Lovrina teta se mogla roditi $1949.$, $1955.$, $1961.$, $1985.$ ili $1991.$ godine.