5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $x$ ukupnu svotu novca, $o_1$ prvi ostatak, $o_2$ drugi ostatak i $o_3$ treći ostatak.

Nakon što je Goga dobila svoj dio ostalo je $\frac34$ trećeg ostatka, odnosno $108$ €.

To znači da je treći ostatak $144$ €.

Goga je dobila $90$ € i još $\frac14$ od $144$ €, odnosno $90+36=126$ €.

$\frac34$ drugog ostatka je $90+144=234$ €.

Nakon što je Filip dobio svoj dio ostalo je $\frac34$ drugog ostatka, odnosno $234$ €.

To znači da je drugi ostatak $312$ €.

Filip je dobio $78$ € i još $\frac14$ od $312$ €, odnosno $78+78=156$ €.

$\frac34$ prvog ostatka je $78+312=390$ €.

Nakon što je Ema dobila svoj dio ostalo je $\frac34$ prvog ostatka, odnosno $390$ €.

To znači da je prvi ostatak $520$ €.

Ema je dobila $56$ € i još $\frac14$ od $520$ €, odnosno $56+130=186$ €.

Početni iznos je bio $56+520=576$ €.

Goga je dobila $126$ €, Filip $156$ €, Ema $186$ €, a ostalo je $108$ €.

Gogi nedostaje $186-126=60$ € da bi imala koliko i Ema.

Filipu nedostaje $186-156=30$ € da bi imao koliko i Ema.

Od ostalih $108-90=18$ € svatko od njih treba dobiti $18:3=6$ €.

To znači da će od preostalih $108$ € Goga dobiti $66$ €, Filip $36$ €, a Ema $6$ €.

Drugo rješenje.

Neka je $x$ svota novaca koju su podijelili Ema, Filip i Goga, a $e$ svota novaca koju je dobila Ema, $f$ svota novaca koju je dobio Filip i $g$ svota novaca koju je dobila Goga.

Ema je dobila:

$$e=56+\frac14(x-56)=56+\frac14x-14=\frac14x+42.$$

Nakon što je Ema dobila novce ostalo je:

$$x-\left(42+\frac14x\right)=\frac34x-42.$$

Filip je dobio:

$$f=78+\frac14\left(\frac34x-42-78\right)=78+\frac14\left(\frac34x-120\right)=\frac3{16}x+48.$$

Nakon što je Filip dobio novce ostalo je:

$$\left(\frac34x-42\right)-\left(\frac3{16}x+48\right)=\frac9{16}x-90.$$

Goga je dobila:

$$g=90+\frac14\left(\frac9{16}x-90-90\right)=90+\frac14\left(\frac9{16}x-180\right)=\frac9{64}x+45.$$

Nakon što je Goga dobila novce ostalo je:

$$\left(\frac9{16}x-90\right)-\left(\frac9{64}x+45\right)=\frac{27}{64}x-135.$$

Slijedi:

$$\frac{27}{64}x-135=108$$ $$\frac{27}{64}x=108+135$$ $$\frac{27}{64}x=243:\frac{27}{64}$$ $$x=576.$$

Ema, Filip i Goga podijelili su $576$ €.

Ema je dobila $\frac14\cdot576+42=186$ €.

Filip je dobio $\frac3{16}\cdot576+48=156$ €.

Goga je dobila $\frac9{64}\cdot576+45=126$ €.

Kako je $576:3=192$, Ema treba dobiti još $192$ € $-186$ € $=6$ €, Filip $192$ € $-156$ € $=36$ €, a Goga $192$ € $-126$ € $=66$ €.