1. Zadatak

Treba odrediti znamenku jedinica zbroja $1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+4^{2023}+5^{2023}$.

Kako je $1^{2023}=1$, onda je $1$ znamenka jedinica prvog pribrojnika.

Potencije broja $2$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, … završavaju redom znamenkama $2$, $4$, $8$, $6$, $2$, $4$, … Četiri znamenke, $2$, $4$, $8$ i $6$ se periodički ponavljaju, a kako je

$$2023=4\cdot505+3,$$

onda je $8$ znamenka jedinica drugog pribrojnika, $2^{2023}$.

Potencije broja $3$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$, … završavaju redom znamenkama $3$, $9$, $7$, $1$, $3$, $9$, … Četiri znamenke, $3$, $9$, $7$ i $1$ se periodički ponavljaju, a kako je

$$2023=4\cdot505+3,$$

onda je $7$ znamenka jedinica trećeg pribrojnika, $3^{2023}$.

Potencije broja $4$, $4^1=4$, $4^2=16$, $4^3=64$, $4^4=256$, … završavaju redom znamenkama $4$, $6$, $4$, … Dvije znamenke, $4$ i $6$ se periodički ponavljaju, a kako je $2023=2\cdot1011+1$, onda je $4$ znamenka jedinica četvrtog pribrojnika, $4^{2023}$.

Potencije broja $5$ završavaju znamenkom $5$, pa je $5$ znamenka jedinica petog pribrojnika, $5^{2023}$.

Zbrojimo li znamenke jedinica zadanih pribrojnika dobivamo $1+8+7+4+5=25$. Dakle, znamenka jedinica zbroja $1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+4^{2023}+5^{2023}$ je $5$.

To znači da je taj zbroj djeljiv brojem $5$, ali nije djeljiv brojem $10$ jer mu posljednja znamenka nije nula.