4. Zadatak

$\triangle ABC$ je jednakokračan, a $\angle ACB$ je kut nasuprot osnovice pa je $|\angle ACB|=80^\circ$.

Kako je $|\angle ACB|=80^\circ$ kut nasuprot osnovici jednakokračnog trokuta $ABC$, onda vrijedi: $|AC|=|BC|$ i veličine preostala dva kuta tog trokuta su

$$|\angle BAC|=|\angle CBA|=(180^\circ-80^\circ):2=50^\circ.$$

Neka je točka $N$ nožište visine na osnovicu trokuta $ABC$.

Kako visina na osnovicu jednakokračnog trokuta raspolavlja osnovicu, pravac $NC$ je simetrala osnovice trokuta $ABC$ pa vrijedi $|AD|=|BD|$ što znači da je i trokut $ABD$ jednakokračan. Zato je $|\angle BAD|=|\angle DBA|=30^\circ$.

To znači da je $|\angle BDA|=180^\circ-2\cdot30^\circ=120^\circ$.

Promotrimo trokut $ATD$.

$$|\angle DTA|=180^\circ-(120^\circ+20^\circ)=40^\circ.$$

Odredimo veličinu kuta $\angle BAT$.

$$|\angle BAT|=|\angle BAD|-|\angle TAD|=30^\circ-20^\circ=10^\circ.$$

Odredimo sad kutove trokuta $ADC$.

Kako je $CN$ simetrala osnovice jednakokračnog trokuta $ABC$, ona je ujedno i simetrala kuta nasuprot osnovici pa je $|\angle ACD|=80^\circ:2=40^\circ$.

$$|\angle DAC|=|\angle BAC|-|\angle BAD|=50^\circ-30^\circ=20^\circ.$$

Sada je $|\angle CDA|=180^\circ-(40^\circ+20^\circ)=120^\circ$.

Vrijedi: $\triangle ATD\cong\triangle ADC$ jer imaju zajedničku stranicu $\overline{AD}$ i odgovarajuće sukladne kutove uz nju (poučak K-S-K).

Iz te sukladnosti slijedi $|AT|=|AC|$ pa je trokut $ATC$ jednakokračan.

Kut nasuprot osnovice tog trokuta je $\angle TAC$ i vrijedi:

$$|\angle TAC|=50^\circ-10^\circ=40^\circ$$

pa je veličina traženog kuta

$$|\angle TCA|=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ.$$