2. Zadatak

Neka je $ABCD$ kvadrat duljine dijagonale $10\ \mathrm{cm}$ . Pravokutnici $ACEF$ , $AKLC$ , $BDGH$ i $BMND$ sukladni su i dulja stranica im je za $60\ \%$ dulja od stranice duljine $10\ \mathrm{cm}$ . Unija tih četiriju pravokutnika lik je u obliku križa. Odredi opseg i površinu toga lika.

Skica

Skica lika u obliku križa

Vrijedi $|AC|=|KL|=|FE|=|BD|=|GH|=|MN|=10\ \mathrm{cm}$ .

Dulja stranica pravokutnika iznosi $1.6\cdot10=16\ \mathrm{cm}$ .

Opseg – prvi način:

$|AK|=|CL|=|AF|=|CE|=|BH|=|DG|=|BM|=|DN|=16\ \mathrm{cm}$ .

$|AP|=5\ \mathrm{cm}$ i $|AK|=16\ \mathrm{cm}$ pa je $|PK|=16-5=11\ \mathrm{cm}$ .

$|PK|=|RL|=|OF|=|SE|=|PH|=|OG|=|RM|=|SN|=11\ \mathrm{cm}$ .

Opseg lika iznosi $8\cdot11+4\cdot10=128\ \mathrm{cm}$ .

Opseg – drugi način:

Pravokutnici na slici su sukladni, a opseg svakog od njih je $2\cdot10+2\cdot16=52\ \mathrm{cm}$ .

Zbroj opsega tih četiriju pravokutnika je $4\cdot52=208\ \mathrm{cm}$ .

Da bismo dobili opseg lika koji je unija ta četiri pravokutnika moramo oduzeti četiri duljine dijagonale kvadrata $ABCD$ i opseg kvadrata $OPRS$ .

Opseg lika iznosi $208-4\cdot10-4\cdot10=128\ \mathrm{cm}$ .

Površina – prvi način:

Površinu lika možemo izračunati zbrajanjem površine kvadrata $OPRS$ i četiri sukladna pravokutnika $PKLR$ , $RMNS$ , $SEFO$ i $OGHP$ .

Površina kvadrata iznosi $10\cdot10=100\ \mathrm{cm}^2$ .

Površina pravokutnika iznosi $11\cdot10=110\ \mathrm{cm}^2$ .

Površina lika iznosi $100+4\cdot110=540\ \mathrm{cm}^2$ .

Površina – drugi način:

Površinu lika možemo izračunati zbrajanjem površina četiri sukladna pravokutnika $AKLC$ , $BMND$ , $CEFA$ i $DGHB$ od čega oduzmemo površinu kvadrata $OPRS$ .

Površina kvadrata iznosi $10\cdot10=100\ \mathrm{cm}^2$ .

Površina pravokutnika iznosi $16\cdot10=160\ \mathrm{cm}^2$ .

Površina lika iznosi $4\cdot160-100=540\ \mathrm{cm}^2$ .