5. Zadatak

Prvo rješenje.

Brojevi $a,b,c,d$ su djelitelji broja $120$ pa se nalaze u skupu

$$\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}.$$

Broj $a$ ima dva djelitelja pa je $a\in\{2,3,5\}$.

Broj $b$ ima četiri djelitelja pa je $b\in\{6,8,10,15\}$.

Broj $c$ ima šest djelitelja pa je $c\in\{12,20\}$.

Broj $d$ ima osam djelitelja pa je $d\in\{24,30,40\}$.

Iz uvjeta $V(a,b)=b$, $V(a,c)=c$, $V(a,d)=d$ zaključujemo da je broj $a$ djelitelj brojeva $b$, $c$ i $d$. Iz uvjeta $V(b,d)\neq d$ zaključujemo da broj $b$ nije djelitelj broja $d$.

Za $a=2$, vrijedi $b\in\{6,8,10\}$, $c\in\{12,20\}$, $d\in\{24,30,40\}$.

Kako $b$ nije djelitelj broja $d$, za $b=6$ jedina mogućnost je $d=40$, za $b=8$ jedina mogućnost je $d=30$ i za $b=10$ jedina mogućnost je $d=24$.

Rješenja su uređene četvorke $(2,6,12,40)$, $(2,6,20,40)$, $(2,8,12,30)$, $(2,8,20,30)$, $(2,10,12,24)$, $(2,10,20,24)$.

Za $a=3$, vrijedi $b\in\{6,15\}$, $c=12$, $d\in\{24,30\}$.

Zbog uvjeta $b<c$ jedina mogućnost je $b=6$, ali tada ne postoji broj $d$ koji nije djeljiv sa $6$. Ovaj slučaj nema rješenja.

Za $a=5$, vrijedi $b\in\{10,15\}$, $c=20$, $d\in\{30,40\}$. Zbog uvjeta da broj $b$ nije djelitelj broja $d$, zaključujemo da je $b=15$ i $d=40$. Dobivamo rješenje $(5,15,20,40)$.

Drugo rješenje.

Rastavimo broj $120$ na proste faktore: $120=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5$.

Iz rastava broja $120$ na proste faktore i činjenice da broj $a$ ima samo dva djelitelja, zaključujemo da $a$ može biti $2$, $3$ ili $5$.

1. slučaj: $a=2$

Budući da je $V(a,b)=b$ i $b$ ima $4$ djelitelja, rastav broja $b$ na proste faktore može biti $2\cdot3$, $2\cdot5$ ili $2\cdot2\cdot2$.

Budući da je $V(a,c)=c$ i $c$ ima $6$ djelitelja, rastav broja $c$ na proste faktore može biti $2\cdot2\cdot3$ ili $2\cdot2\cdot5$.

Budući da je $V(a,d)=d$ i $d$ ima $8$ djelitelja, rastav broja $d$ na proste faktore može biti $2\cdot3\cdot5$, $2\cdot2\cdot2\cdot3$ ili $2\cdot2\cdot2\cdot5$.

Zadano je da je $V(b,d)\neq d$ pa zaključujemo da mora biti

$$b=2\cdot3=6 \quad \text{i} \quad d=2\cdot2\cdot2\cdot5=40,$$ $$b=2\cdot5=10 \quad \text{i} \quad d=2\cdot2\cdot2\cdot3=24$$

ili

$$b=2\cdot2\cdot2=8 \quad \text{i} \quad d=2\cdot3\cdot5=30.$$

Imamo mogućnosti $V(2,6,c,40)=120$, $V(2,10,c,24)=120$ i $V(2,8,c,30)=120$, pa $c$ u svim tim mogućnostima može biti $12$ ili $20$. Moguća rješenja su: $(2,6,12,40)$, $(2,6,20,40)$, $(2,10,12,24)$, $(2,10,20,24)$, $(2,8,12,30)$, $(2,8,20,30)$.

2. slučaj: $a=3$

Budući da je $V(a,b)=b$ i $b$ ima $4$ djelitelja, rastav broja $b$ na proste faktore može biti $2\cdot3$ ili $3\cdot5$.

Budući da je $V(a,c)=c$ i $c$ ima $6$ djelitelja, rastav broja $c$ mora biti $2\cdot2\cdot3$, to jest $c=12$.

Budući da je $V(a,d)=d$ i $d$ ima $8$ djelitelja, rastav broja $d$ mora biti $2\cdot3\cdot5$, to jest $d=30$. No, budući da mora vrijediti $V(b,d)\neq d$, ovaj slučaj nema rješenja.

3. slučaj: $a=5$

Budući da je $V(a,b)=b$ i $b$ ima $4$ djelitelja, rastav broja $b$ na proste faktore može biti $2\cdot5$ ili $3\cdot5$.

Budući da je $V(a,c)=c$ i $c$ ima $6$ djelitelja, rastav broja $c$ mora biti $2\cdot2\cdot5$.

Budući da je $V(a,d)=d$ i $d$ ima $8$ djelitelja, rastav broja $d$ mora biti $2\cdot3\cdot5$ ili $2\cdot2\cdot2\cdot5$.

Iz $V(b,d)\neq d$ slijedi da mora biti $b=3\cdot5=15$ i $d=2\cdot2\cdot2\cdot5=40$.

U ovom slučaju dobivamo rješenje $(5,15,20,40)$.