4. Zadatak

Prvo rješenje.

$$\begin{aligned} ab+5a+6b+30-3ab&=0,\\ -2ab+5a&=-6b-30\quad/\cdot(-1),\\ 2ab-5a&=6b+30,\\ a(2b-5)&=6b+30,\\ a&=\frac{6b+30}{2b-5},\\ a&=\frac{3(2b-5)+15+30}{2b-5},\\ a&=3+\frac{45}{2b-5}. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} a\in\mathbb{N}&\Leftrightarrow\frac{45}{2b-5}\in\mathbb{N}\\ &\Leftrightarrow2b-5\in\{1,3,5,9,15,45\}\\ &\Leftrightarrow2b\in\{6,8,10,14,20,50\}\\ &\Leftrightarrow b\in\{3,4,5,7,10,25\}\\ &\Leftrightarrow\frac{45}{2b-5}\in\{45,15,9,5,3,1\}\\ &\Leftrightarrow a=3+\frac{45}{2b-5}\in\{48,18,12,8,6,4\}. \end{aligned}$$

Traženi parovi brojeva su $(48,3)$, $(18,4)$, $(12,5)$, $(8,7)$, $(6,10)$, $(4,25)$.

Drugo rješenje.

$$\begin{aligned} ab+5a+6b+30-3ab&=0,\\ -2ab+5a+6b+30&=0,\\ 2ab-5a-6b-30&=0,\\ 2ab-5a-6b+15-15-30&=0,\\ a(2b-5)-3(2b-5)&=45,\\ (a-3)(2b-5)&=45. \end{aligned}$$

Broj $45$ se može rastaviti na:

$$1\cdot45,\ 3\cdot15,\ 5\cdot9,\ 9\cdot5,\ 15\cdot3,\ 45\cdot1.$$

Iz $a-3=1$ i $2b-5=45$, dobije se $a=4$ i $b=25$.

Analogno se računaju i ostali slučajevi:

Iz $a-3=3$ i $2b-5=15$, dobije se $a=6$ i $b=10$.

Iz $a-3=5$ i $2b-5=9$, dobije se $a=8$ i $b=7$.

Iz $a-3=9$ i $2b-5=5$, dobije se $a=12$ i $b=5$.

Iz $a-3=15$ i $2b-5=3$, dobije se $a=18$ i $b=4$.

Iz $a-3=45$ i $2b-5=1$, dobije se $a=48$ i $b=3$.

Traženi parovi brojeva su $(48,3)$, $(18,4)$, $(12,5)$, $(8,7)$, $(6,10)$, $(4,25)$.