3. Zadatak

Skica:

Označimo redom površine trokuta $\triangle ATD$ s $P_1$, $\triangle ABT$ s $P_2$, $\triangle BCT$ s $P_3$, te $\triangle CDT$ s $P_4$.

Nacrtajmo visine iz vrha $T$ u $\triangle ATD$ i $\triangle BCT$, te ih označimo $x$, odnosno $y$.

Tada vrijedi da je $a=x+y$.

Nadalje,

$$P_1=\frac{1}{2}bx,\quad P_3=\frac{1}{2}by.$$

Zbrajanjem površina $P_1$ i $P_3$ dobivamo sljedeću jednakost:

$$\begin{aligned} P_1+P_3&=\frac{1}{2}bx+\frac{1}{2}by\\ &=\frac{1}{2}b(x+y)\\ &=\frac{1}{2}ba\\ &=\frac{1}{2}P_{ABCD}. \end{aligned}$$

Nadalje zaključujemo da je $P_2+P_4=\frac{1}{2}P_{ABCD}$.

Označimo četvrtu nepoznatu površinu jednog od trokuta s $Q$. Tada imamo $3$ mogućnosti:

$$\begin{array}{rl} \mathrm{I.}&15+54=75+Q\\ \mathrm{II.}&15+75=54+Q\\ \mathrm{III.}&54+75=15+Q \end{array}$$

Prvi slučaj otpada jer je $15+54<75$, a time i $15+54<75+Q$.

Iz drugog slučaja imamo $Q=36\ \mathrm{cm^2}$.

Iz trećeg slučaja imamo $Q=114\ \mathrm{cm^2}$.

Dakle, zadatak ima dva rješenja, to jest postoje dva pravokutnika koji zadovoljavaju zadane uvjete.

Površine tih pravokutnika su $15+54+75+36=180\ \mathrm{cm^2}$ i $15+54+75+114=258\ \mathrm{cm^2}$.