5. Zadatak

Prvi način:

Neka je duljina veće osnovice $a$, manje $c$, visina trapeza $v=v_1+v_2$ i neka je $x$ udaljenost točke $M$ od vrha $C$.

Iz uvjeta zadatka slijedi $a:c=3:1$ odnosno $a=3c$.

Kako je $P_{\triangle ABE}=P_{AECD}$, vrijedi

$$\frac{av_1}{2}=\frac12\cdot\frac{a+c}{2}(v_1+v_2).$$

Uvrštavanjem $a=3c$ slijedi

$$\frac{3cv_1}{2}=\frac12\cdot\frac{3c+c}{2}(v_1+v_2)$$

pa sređivanjem dobivamo $v_1:v_2=2:1$.

Iz sličnosti trokuta $ABE$ i $MCE$ slijedi $a:x=v_1:v_2$ pa je $a:x=2:1$ odnosno $x=\frac a2$ što je i trebalo dokazati.

Drugi način:

Neka je duljina veće osnovice $a$, manje $c$, visina trapeza $v=v_1+v_2$ i neka je $x$ udaljenost točke $M$ od vrha $C$.

Iz uvjeta zadatka slijedi $a:c=3:1$ odnosno $a=3c$.

Kako je $P_{\triangle ABE}=P_{AECD}$, vrijedi

$$\frac{av_1}{2}=\frac12\cdot\frac{a+c}{2}(v_1+v_2).$$

Sređivanjem posljednje jednakosti dobivamo $2av_1=(a+c)(v_1+v_2)$ odnosno

$$2av_1=av_1+av_2+cv_1+cv_2$$

i konačno $av_1=av_2+cv_1+cv_2$.

Iz sličnosti trokuta $ABE$ i $MCE$ slijedi $a:x=v_1:v_2$ pa je $x=\frac{av_2}{v_1}$.

Uvrštavanjem $a=3c$ u jednakost $av_1=av_2+cv_1+cv_2$ dobivamo $3cv_1=3cv_2+cv_1+cv_2$ odnosno $2cv_1=4cv_2$ te je $v_1=2v_2$.

Konačno dobivamo

$$x=\frac{av_2}{2v_2}=\frac a2$$

što je i trebalo dokazati.

Treći način:

Neka je duljina veće osnovice $a$, manje $c$, visina trapeza $v=v_1+v_2$ i neka je $x$ udaljenost točke $M$ od vrha $C$.

Iz uvjeta zadatka slijedi $a:c=3:1$ odnosno $a=3c$.

Kako je $P_{\triangle ABE}=P_{AECD}=\frac12P_{ABCD}$, slijedi

$$\frac{av_1}{2}=\frac12\cdot\frac{a+c}{2}v$$

odnosno

$$\frac{3cv_1}{2}=\frac12\cdot\frac{3c+c}{2}v$$

pa sređivanjem dobivamo $v_1=\frac23v$.

Prema tome, $v_2=\frac13v$.

Budući da je $P_{AECD}=\frac12P_{ABCD}=\frac12\cdot\frac{3c+c}{2}v=cv$, slijedi

$$P_{\triangle AMD}=P_{AECD}+P_{\triangle EMC}=cv+\frac12\cdot xv_2=cv+\frac12\cdot x\cdot\frac13v=v\left(c+\frac{x}{6}\right).$$

S druge strane

$$P_{\triangle AMD}=\frac{(c+x)v}{2}.$$

Dakle,

$$v\left(c+\frac{x}{6}\right)=\frac{(c+x)v}{2}.$$

Dalje je $6c+x=3c+3x$ odnosno $2x=3c$ pa je $x=\frac{3c}{2}=\frac a2$ što je i trebalo dokazati.