1. Zadatak

Prvi način:

Iz $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{48}$ slijedi $\sqrt{x}=\sqrt{48}-\sqrt{y}$, a nakon kvadriranja je

$$x=48-2\sqrt{48y}+y.$$

Nakon djelomičnog korjenovanja dobivamo

$$x=48+y-8\sqrt{3y}.$$

Budući da su $x$ i $y$ prirodni brojevi, broj $3y$ mora biti kvadrat nekog prirodnog broja, tj. mora biti

$$y=3m^2,$$

pri čemu je $m$ prirodan broj.

Analognim zaključivanjem dobiva se da je $y=48+x-8\sqrt{3x}$, tj. da je $x=3n^2$, pri čemu je $n$ prirodan broj.

Zadanu jednadžbu možemo napisati u obliku $\sqrt{3m^2}+\sqrt{3n^2}=\sqrt{48}$, tj. $m\sqrt{3}+n\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Nakon dijeljenja jednadžbe brojem $\sqrt{3}$ dobivamo jednadžbu $m+n=4$. Njezina su rješenja zapisana u tablici:

$m$	$1$	$2$	$3$
$n$	$3$	$2$	$1$

Iz $x=3n^2$ i $y=3m^2$ rješenja zadane jednadžbe su:

$x$	$27$	$12$	$3$
$y$	$3$	$12$	$27$

Drugi način:

Kako su $x$ i $y$ prirodni brojevi, iz $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{48}$ slijedi $x<48$ i $y<48$.

Iz $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{48}$ slijedi $\sqrt{x}=\sqrt{48}-\sqrt{y}$, a nakon kvadriranja je

$$x=48-2\sqrt{48y}+y.$$

Budući da je $x$ prirodan broj, $48y$ mora biti kvadrat nekog prirodnog broja.

S obzirom da je $48=16\cdot3=4^2\cdot3$, slijedi da je $y=3m^2$, pri čemu je $m$ prirodan broj.

Za $m=1$ je $y=3$ te $x=27$.

Za $m=2$ je $y=12$ te $x=12$.

Za $m=3$ je $y=27$ te $x=3$.

Za $m\geq4$ je $y\geq48$, a to nije moguće.