2. Zadatak

Prvi način:

Ako su brojevi jednaki, jednaki su i njihovi kvadrati pa je razlika jednaka $0$, što je djeljivo sa $72$.

Neka su $m,n\in\mathbb{Z}$, oba neparna i $m<n$.

Kako su $m$ i $n$ djeljivi brojem $3$, onda je $m=3l$, $n=3k$, $k,l\in\mathbb{Z}$, $l<k$, $l,k$ neparni.

Vrijedi

$$n^2-m^2=(n+m)(n-m)=(3k+3l)(3k-3l)=9(k+l)(k-l).$$

Dakle, $n^2-m^2$ je djeljiv brojem $9$.

Kako su $l,k$ neparni, onda vrijedi $k=2p+1$, $l=2r+1$, $p,r\in\mathbb{Z}$.

Budući da je

$$k+l=2p+1+2r+1=2(p+r+1)$$

i

$$k-l=2p+1-(2r+1)=2(p-r),$$

oba su broja parna.

Analogno se pokaže da su $p+r$ i $p-r$ ili oba parna ili oba neparna. No, tada je ili $p+r+1$ paran ili $p-r$ paran. Dakle, jedan od brojeva $k+l$ i $k-l$ je djeljiv s $4$.

To znači da je $n^2-m^2$ djeljiv brojem $9\cdot2\cdot4=72$.

Drugi način:

Neparni brojevi djeljivi brojem $3$ su $\ldots,-15,-9,-3,3,9,15,21,27,\ldots$ Ti su brojevi oblika

$$3(2a+1)=6a+3,$$

tj. oni pri dijeljenju brojem $6$ daju ostatak $3$.

Neka je $n=6a+3$ i $m=6b+3$, pri čemu je $n>m$ odnosno $a>b$.

Tada je

$$n^2-m^2=(n+m)(n-m)=(6a+3+6b+3)(6a+3-6b-3),$$

tj.

$$n^2-m^2=6(a+b+1)\cdot6(a-b)=36(a+b+1)(a-b).$$

Dakle, $n^2-m^2$ je djeljiv brojem $36$.

Ako su $a$ i $b$ iste parnosti (oba parni ili oba neparni), razlika $a-b$ je paran broj pa je $n^2-m^2$ djeljiv brojem $36\cdot2=72$.

Ako su brojevi $a$ i $b$ različite parnosti (jedan paran, a drugi neparan), zbroj $a+b+1$ je paran broj pa je $n^2-m^2$ djeljiv brojem $36\cdot2=72$.