4. Zadatak

Prvi način:

Za $n=2$

broj trokutića kojima barem jedna stranica leži na stranici početnog trokuta je $3$, a broj svih preostalih trokutića je $1$ što znači da uvjet nije ispunjen.

Za $n>2$ neka su trokutići u vrhovima zadanog trokuta crni, trokutići koji imaju točno jednu zajedničku stranicu s rubom trokuta (a nisu u vrhu zadanog trokuta) plavi, trokutići koji imaju samo zajednički vrh s rubom polaznog trokuta crveni, a trokutići u unutrašnjosti polaznog trokuta bijeli.

Zadani uvjet sada možemo preoblikovati ovako: “ukupni broj crnih i plavih trokutića za $1$ je manji od ukupnog broja bijelih i crvenih trokutića”.

Uočavamo da crvenih i plavih trokutića ima jednako mnogo (uočimo jedan crveni trokutić, a zatim u pozitivnom smjeru plavi sa zajedničkom stranicom pa u pozitivnom smjeru crveni koji ima zajedničku stranicu s plavim te na taj način sve dok se ne pojavi naš početni crveni trokutić).

To znači da broj crnih trokutića mora biti za $1$ manji od broja bijelih trokutića. No, broj crnih trokutića je uvijek $3$ pa je broj bijelih trokutića jednak $4$.

To je moguće samo za $n=5$.

Drugi način:

Broj trokutića kojima barem jedna stranica leži na stranici početnog trokuta je $3+3(n-2)=3(n-1)$ ($3$ trokutića u vrhovima i još po $n-2$ trokutića na svakoj stranici).

Ukupan broj trokutića je, gledano po “retcima”, $1+3+5+\ldots+(2n-1)$.

Broj trokutića kojima niti jedna stranica ne leži na nekoj stranici početnog trokuta je

$$1+3+5+\ldots+(2n-1)-3(n-1)$$

pa iz zadanog uvjeta dobivamo jednadžbu

$$3(n-1)+1=1+3+5+\ldots+(2n-1)-3(n-1)$$

odnosno

$$6(n-1)+1=1+3+5+\ldots+(2n-1).$$

Za $n=2$ dobili bismo $7=4$ što nije točno.

Za $n=3$ dobili bismo $13=9$ što nije točno.

Za $n=4$ dobili bismo $19=16$ što nije točno.

Za $n=5$ dobili bismo $25=25$ pa je to traženi $n$.

Za $n>5$ nema rješenja jer se daljnjim povećanjem broja $n$ za $1$ lijeva strana povećava za $6$, a desna za $2n-1$ ($11$, $13$, $15$, $17$, $\ldots$).

Treći način:

Ukupan broj trokutića je, gledano po “retcima”, $1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2$.

Broj trokutića kojima barem jedna stranica leži na stranici početnog trokuta je $3n-3$ ($n$ trokutića na svakoj stranici umanjeno za ona $3$ u vrhovima početnog trokuta koji su brojani na po dvije stranice).

Iz zadanih uvjeta broj preostalih trokutića tada mora biti $3n-3+1$.

Tada vrijedi jednadžba

$$n^2=3n-3+3n-3+1$$

odnosno

$$n^2-6n+5=0.$$

Dalje je

$$n^2-5n-n+5=0$$ $$n(n-5)-1(n-5)=0$$ $$(n-5)(n-1)=0.$$

Dakle, $n=5$ ili $n=1$.

Kako je $n>1$, onda je $n=5$.

Napomena: Jednadžba $n^2-6n+5=0$ može se rješavati dalje $n^2-2\cdot n\cdot3+3^2-3^2+5=0$ pa je $(n-3)^2=4$. Dalje je $n-3=2$ odnosno $n=5$ ili $n-3=-2$ odnosno $n=1$ što nije moguće.