4. Zadatak

Označimo trapez kao na slici. Iz uvjeta zadatka je $a=2c$.

Neka su $M$ i $N$ polovišta dijagonala. Potrebno je dokazati da je $|MN|=\frac{c}{2}$.

Označimo s $P$ polovište kraka $\overline{BC}$ i nacrtajmo pravac $p$ koji sadrži $P$ i paralelan je s osnovicama trapeza.

Usporedni pravci $AB$ i $p$ odsijecaju na krakovima kuta $\angle ACB$ proporcionalne dužine tako da je

$$|CB|:|CP|=|CA|:|CM|=2:1,$$

pa je polovište dijagonale $\overline{AC}$ točka $M\in p$.

Usporedni pravci $CD$ i $p$ odsijecaju na krakovima kuta $\angle CBD$ proporcionalne dužine tako da je

$$|BC|:|BP|=|BD|:|BN|=2:1,$$

pa je polovište dijagonale $\overline{BD}$ točka $N\in p$.

Zato je $\overline{MP}$ srednjica trokuta $\triangle ABC$, a $\overline{NP}$ srednjica trokuta $\triangle BCD$.

Prema poučku o srednjici trokuta vrijedi:

$$|MP|=\frac{|AB|}{2}=\frac{a}{2} \quad\text{i}\quad |NP|=\frac{|CD|}{2}=\frac{c}{2}.$$

Slijedi

$$|MN|=|MP|-|NP|=\frac{a}{2}-\frac{c}{2}=c-\frac{c}{2}=\frac{c}{2}.$$