2. Zadatak

Označimo s $a$ duljinu stranice jednakostraničnog trokuta.

Nadalje, označimo s $r$ duljinu polumjera manje kružnice, a s $R$ duljinu polumjera veće kružnice.

U jednakostraničnom trokutu sjecište visina i sjecište težišnica nalaze se u istoj točki.

Duljinu visine računamo kao

$$v=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Polumjer opisane kružnice ima duljinu jednaku $\frac23$ duljine visine jer je to udaljenost od vrha do težišta jednakostraničnog trokuta.

Slijedi

$$R=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

Dužina $\overline{CE}$ je promjer veće kružnice, a dužina $\overline{CD}$ je visina trokuta.

Prema tome, $2r=2R-v$,

Odnosno

$$2r=\frac{2a\sqrt3}{3}-\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6},$$

tj.

$$r=\frac{a\sqrt3}{12}.$$

Površine manjeg i većeg kruga su

$$P_m=\left(\frac{a\sqrt3}{12}\right)^2\pi=\frac{a^2}{48}\pi$$

i

$$P_v=\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2\pi=\frac{a^2}{3}\pi.$$

Omjer površina manjeg i većeg kruga je

$$P_m:P_v=\frac{a^2\pi}{48}:\frac{a^2\pi}{3} =\frac{a^2\pi}{48}\cdot\frac{3}{a^2\pi}=1:16.$$

Alternativno:

Površine manjeg i većeg kruga odnose se kao kvadrati polumjera pripadnih kružnica.

Dakle,

$$\begin{aligned} P_m:P_v &=r^2:R^2\\ &=\left(\frac{a\sqrt3}{12}\right)^2:\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2\\ &=\frac{a^2}{48}:\frac{a^2}{3}\\ &=\frac{a^2}{48}\cdot\frac{3}{a^2}\\ &=\frac{1}{16}=1:16. \end{aligned}$$