5. Zadatak

Mogući su sljedeći slučajevi:

(i) Sva su četiri vrha četverokuta na različitim stranicama pravokutnika $ABCD$.

(ii) Dva su vrha četverokuta na jednoj, a dva na drugoj stranici pravokutnika $ABCD$.

(iii) Dva su vrha četverokuta na jednoj, jedan na drugoj i jedan na trećoj stranici pravokutnika $ABCD$.

Slučaj (i): Na svakoj stranici pravokutnika biramo jedan od pet mogućih vrhova pa je ukupni broj mogućnosti jednak

$$5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4,$$

odnosno $625$.

Slučaj (ii): Dvije stranice pravokutnika $ABCD$ na kojima će biti vrhovi četverokuta možemo odabrati na

$$\frac{4\cdot3}{2}$$

načina.

Dva vrha na jednoj fiksiranoj stranici pravokutnika $ABCD$ možemo odabrati na $\frac{5\cdot4}{2}$ načina, pa dva vrha na jednoj fiksiranoj stranici pravokutnika $ABCD$ i dva na drugoj možemo odabrati na

$$\left(\frac{5\cdot4}{2}\right)^2$$

načina.

Zato je broj četverokuta s dva vrha na jednoj i dva na drugoj stranici pravokutnika $ABCD$ jednak

$$\frac{4\cdot3}{2}\cdot\left(\frac{5\cdot4}{2}\right)^2,$$

odnosno $600$.

Slučaj (iii): Jednu stranicu pravokutnika $ABCD$ na kojoj će biti dva vrha četverokuta možemo odabrati na $4$ načina, a za svaki takav izbor dvije stranice pravokutnika $ABCD$ na kojima će biti po jedan vrh četverokuta možemo odabrati na

$$\frac{3\cdot2}{2}=3$$

načina. Dakle, stranice na kojima se nalaze vrhovi četverokuta možemo odabrati na $4\cdot3$ načina.

Dva vrha na jednoj fiksiranoj stranici pravokutnika $ABCD$ možemo odabrati na $\frac{5\cdot4}{2}$ načina, a po jedan vrh na dvije preostale fiksirane stranice pravokutnika na $5\cdot5=5^2$ načina, pa je zato mogući broj odabira vrhova pravokutnika jednak

$$\frac{5\cdot4}{2}\cdot5^2.$$

Zato je broj četverokuta s dva vrha na jednoj, jednim vrhom na drugoj i jednim na trećoj stranici pravokutnika $ABCD$ jednak

$$4\cdot3\cdot\frac{5\cdot4}{2}\cdot5^2,$$

odnosno $3\,000$.

Ukupno, traženih četverokuta ima

$$625+600+3\,000=4\,225.$$

Alternativno, u slučaju (iii) prebrojavati možemo i ovako:

Jednu stranicu pravokutnika $ABCD$ na kojoj će biti dva vrha četverokuta možemo odabrati na $4$ načina, a dva vrha na njoj određuje

$$\frac{5\cdot4}{2}=10$$

različitih dužina (stranica pravokutnika).

Dvije stranice pravokutnika $ABCD$ na kojima će biti po jedan vrh četverokuta možemo odabrati na

$$\frac{3\cdot2}{2}=3$$

načina, a na svakoj od njih vrh četverokuta na $5$ načina.

Dakle, stranice na kojima se nalaze vrhovi četverokuta možemo odabrati na

$$4\cdot10\cdot3\cdot5\cdot5=3\,000$$

načina.