5. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da postoje neparni prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $a+b=m^2$ i $a\cdot b=n^2$, za prirodne brojeve $m$ i $n$.

Kako su $a$ i $b$ neparni, onda je $a+b$ paran broj.

Kako su $a$ i $b$ neparni brojevi, onda je $a\cdot b$ neparan broj.

Zbrojimo umnožak i zbroj brojeva $a$ i $b$:

$$a+b+ab=m^2+n^2.$$

Kako su $a$ i $b$ neparni, oni su oblika $a=2x+1$ i $b=2y+1$, pri čemu su $x$ i $y$ prirodni brojevi ili $0$.

Kako je $a+b$ paran, on je oblika $m=2t$, gdje je $t$ prirodan broj, a $a\cdot b$ neparan, on je oblika $n=2s+1$, gdje je $s$ prirodan broj ili $0$ pa imamo

$$2x+1+2y+1+(2x+1)(2y+1)=(2t)^2+(2s+1)^2,$$ $$2x+2y+2+4xy+2x+2y+1=4t^2+4s^2+4s+1,$$ $$4x+4y+4xy+3=4t^2+4s^2+4s+1,$$ $$4x+4y+4xy+2=4t^2+4s^2+4s\quad/:2,$$ $$2x+2y+2xy+1=2t^2+2s^2+2s,$$ $$2(x+y+xy)+1=2(t^2+s^2+s).$$

Budući da smo dobili da je neki neparan broj jednak nekom parnom broju, zaključujemo da je to nemoguće.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo da postoje neparni prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $a+b=m^2$ i $a\cdot b=n^2$, za prirodne brojeve $m$ i $n$.

Kako su $a$ i $b$ neparni, onda je $a+b$ paran pa $m^2$ mora biti djeljiv s $4$, jer je paran broj oblika $(2j)^2=4j^2$, pri čemu je $j$ prirodan broj.

Da bi $m^2$ bio djeljiv s $4$, jedan od brojeva $a$ i $b$ mora biti oblika $4k-1$, a drugi oblika $4l-3$, pri čemu su $k$ i $l$ prirodni brojevi, jer su $a$ i $b$ neparni.

No, tada je i

$$a\cdot b=(4k-1)\cdot(4l-3),$$

što je broj koji daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$ te ne može biti kvadrat prirodnog broja jer kvadrat neparnog prirodnog broja uvijek daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$:

$$(2i-1)^2=4i^2-4i+1=4\cdot(i^2-i)+1.$$

Time smo došli do kontradikcije i dokazali smo tvrdnju.