2. Zadatak

Budući da se mreža sastoji od jednakostraničnih trokuta duljine stranice $1\ \mathrm{m}$, visina jednog trokuta je

$$v=\frac{\sqrt3}{2}\ \mathrm{m}.$$

Uočavamo da je:

$$|AB|=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\ \mathrm{m},$$ $$|AD|=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\ \mathrm{m}.$$

Duljinu dužine $BC$ nalazimo pomoću Pitagorinog poučka:

$$\begin{aligned} |BC|^2&=3.5^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac{49}{4}+\frac{27}{4}\\ &=\frac{76}{4}=19, \end{aligned}$$ $$|BC|=\sqrt{19}\ \mathrm{m}.$$

Duljinu dužine $CD$ nalazimo također pomoću Pitagorinog poučka:

$$\begin{aligned} |CD|^2&=0.5^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac{1}{4}+\frac{27}{4}\\ &=\frac{28}{4}=7, \end{aligned}$$ $$|CD|=\sqrt7\ \mathrm{m}.$$

Opseg četverokuta je $O=6\sqrt3+\sqrt{19}+\sqrt7\ \mathrm{m}$.

Prvi način.

Da bismo izračunali površinu, podijelimo četverokut na dva trokuta: $\triangle ABD$ i $\triangle BCD$.

Površina trokuta $\triangle ABD$ je

$$P_1=\frac{4\sqrt3\cdot3}{2},$$

pa je $P_1=6\sqrt3\ \mathrm{m^2}$.

Duljina visine trokuta $\triangle BCD$ na stranicu $\overline{BD}$ je $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\ \mathrm{m}$.

Površina trokuta $\triangle BCD$ je

$$P_2=\frac{6\cdot\sqrt3}{2},$$

pa je $P_2=3\sqrt3\ \mathrm{m^2}$.

Površina četverokuta $ABCD$ je $P=9\sqrt3\ \mathrm{m^2}$.

Drugi način.

Ukoliko se nacrtaju okomice iz točaka $D$ i $C$ na stranicu $\overline{AB}$, onda se četverokut dijeli na dva pravokutna trokuta i trapez.

Površina manjeg pravokutnog trokuta je

$$P_1=\frac{3\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2},$$

pa je $P_1=\frac{3}{2}\sqrt3\ \mathrm{m^2}$.

Površina većeg pravokutnog trokuta je

$$P_2=\frac{3.5\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{\frac{7}{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{21}{8}\sqrt3\ \mathrm{m^2}.$$

Površina trapeza je

$$P_3=\frac{(3+3.5)\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{\frac{13}{2}\cdot\frac{3\sqrt3}{2}}{2}=\frac{39}{8}\sqrt3\ \mathrm{m^2}.$$

Površina četverokuta $ABCD$ je $P=P_1+P_2+P_3=9\sqrt3\ \mathrm{m^2}$.

Treći način. Promotrimo sliku.

Površina četverokuta $ABCD$ jednaka je zbroju površina:

• $24$ jednakostranična trokuta (obojena plavom bojom) koje tvori mreža,
• $12$ sukladnih pravokutnih trokuta (obojenih žutom bojom),
• trokuta (obojenog zelenom bojom) sukladnog trokutu $\triangle DCH$
• i mnogokuta (obojenog crvenom bojom) sukladnog mnogokutu $CBEFG$.

Površina „plavog“ jednakostraničnog trokuta je

$$P_1=\frac{1^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{4}\ \mathrm{m^2}.$$

Površina jednog „žutog“ pravokutnog trokuta je jednaka polovini površine „plavog“ jednakostraničnog trokuta, pa $12$ „žutih“ trokuta ima površinu kao $6$ „plavih“.

„Zeleni“ trokut (kao i trokut $\triangle DCH$) ima površinu kao $2$ „plava“ trokuta.

„Crveni“ mnogokut (kao i mnogokut $CBEFG$) ima površinu kao $4$ „plava“ trokuta.

Stoga četverokut $ABCD$ ima površinu kao $24+6+2+4=36$ jednakostraničnih „plavih“ trokuta, odnosno

$$P=36\cdot\frac{\sqrt3}{4}=9\sqrt3\ \mathrm{m^2}.$$