4. Zadatak

Neka je $\overline{AB}$ osnovica jednakokračnog trokuta $\triangle ABC$ i $|\angle ACB|=45°$.

Skica:

Označimo s $D$ nožište visine iz vrha $C$. Tada je $v=|CD|=\sqrt{2+\sqrt2}$.

Neka je $E$ nožište visine iz vrha $A$ na stranicu $\overline{BC}$.

Trokut $\triangle AEC$ je pravokutan, a kako je $|\angle ACB|=45°$, slijedi $|\angle EAC|=180°-(90°+45°)=45°$.

Dakle, trokut $\triangle AEC$ je jednakokračan, pa je $|AE|=|EC|=x$.

Dalje, prema Pitagorinom poučku je $|AC|=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt2$.

Neka je $|BE|=y$.

Kako je $\triangle ABC$ jednakokračan, slijedi $x+y=x\sqrt2$.

Odavde je $y=x\sqrt2-x=x(\sqrt2-1)$.

Trokut $\triangle ABE$ je također pravokutan i vrijedi $|AB|^2=x^2+y^2$ (Pitagorin poučak).

S druge strane je

$$\begin{aligned} x^2+y^2&=x^2+x^2(\sqrt2-1)^2\\ &=x^2+x^2(2-2\sqrt2+1)\\ &=x^2+x^2(3-2\sqrt2)\\ &=x^2(1+3-2\sqrt2)\\ &=x^2(4-2\sqrt2), \end{aligned}$$

pa je

$$|AB|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2(4-2\sqrt2)}=x\sqrt{4-2\sqrt2}=x\sqrt2\cdot\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Površina trokuta $\triangle ABC$ je

$$P=\frac{1}{2}|AB|\cdot v=\frac{1}{2}|BC|\cdot x.$$

Odavde slijedi

$$|AB|\cdot v=|BC|\cdot x,$$ $$x\sqrt2\cdot\sqrt{2-\sqrt2}\cdot\sqrt{2+\sqrt2}=x\sqrt2\cdot x\quad/:x\sqrt2,$$ $$\sqrt{2-\sqrt2}\cdot\sqrt{2+\sqrt2}=x,$$ $$\begin{aligned} x&=\sqrt{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)},\\ x&=\sqrt{4-2}. \end{aligned}$$

Duljina visine na krak je $x=\sqrt2$.

Drugi način: Pitagorin poučak.

Nakon što izračuna $|AB|$, učenik može $x$ dobiti primjenom Pitagorinog poučka.

U pravokutnom trokutu $\triangle ADC$ vrijedi

$$|AC|^2=v^2+\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2,$$

odnosno

$$(x\sqrt2)^2=\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt2\cdot\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\right)^2.$$

Dalje je:

$$\begin{aligned} 2x^2&=2+\sqrt2+\frac{2x^2(2-\sqrt2)}{4},\\ 2x^2&=2+\sqrt2+x^2-\frac{x^2\sqrt2}{2},\\ x^2&=2+\sqrt2-\frac{x^2\sqrt2}{2}\quad/\cdot2,\\ 2x^2&=4+2\sqrt2-x^2\sqrt2,\\ 2x^2+x^2\sqrt2&=4+2\sqrt2,\\ x^2(2+\sqrt2)&=2(2+\sqrt2),\\ x^2&=2,\\ x&=\sqrt2. \end{aligned}$$

Treći način: sličnost trokuta.

Nakon što izračuna $|AB|$, učenik može $x$ dobiti primjenom sličnosti trokuta.

Trokuti $\triangle ADC$ i $\triangle ABE$ su slični prema K-K poučku o sličnosti (jer je $|\angle CDA|=|\angle AEB|=90°$ i $|\angle DAC|=|\angle EBA|=90°-22.5°=67.5°$).

Tada je

$$\frac{|AB|}{2}:v=y:x,$$

odnosno

$$x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt{2-\sqrt2}:\sqrt{2+\sqrt2}=x\cdot(\sqrt2-1):x.$$

Slijedi:

$$x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt{2-\sqrt2}=\sqrt{2+\sqrt2}\cdot(\sqrt2-1)\quad/\cdot\sqrt{2-\sqrt2},$$ $$\begin{aligned} x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot(2-\sqrt2)&=\sqrt{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}\cdot(\sqrt2-1),\\ x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot(2-\sqrt2)&=\sqrt{4-2}\cdot(\sqrt2-1),\\ x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot(2-\sqrt2)&=\sqrt2\cdot(\sqrt2-1),\\ x\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot(2-\sqrt2)&=2-\sqrt2,\\ x\cdot\frac{\sqrt2}{2}&=1,\\ x&=\sqrt2. \end{aligned}$$