3. Zadatak

Prvo rješenje.

Znamenke $1$, $4$ i $7$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$.

Znamenke $2$, $5$ i $8$ daju ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$.

Znamenke $3$, $6$ i $9$ daju ostatak $0$ pri dijeljenju s $3$.

Troznamenkast broj je djeljiv s $3$ ako i samo ako njegove znamenke

• sve daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$ ili
• sve daju različite ostatke pri dijeljenju s $3$.

Ako bi za traženi deveteroznamenkasti broj vrijedilo da mu npr. prve tri znamenke daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$, onda bi i četvrta znamenka morala dati isti ostatak pri dijeljenju s $3$, što nije moguće.

Zato ostaci koje znamenke traženog broja daju pri dijeljenju s $3$ formiraju niz:

$$a\ b\ c\ a\ b\ c\ a\ b\ c,$$

pri čemu su $a$, $b$ i $c$ različiti elementi skupa $\{0,1,2\}$.

Od ostataka $0$, $1$ i $2$ može se formirati niz $abc$ na $3\cdot2\cdot1=6$ načina.

Znamenke koje daju ostatak $a$ se mogu ispremještati na $6$ načina.

Znamenke koje daju ostatak $b$ se mogu ispremještati na $6$ načina.

Znamenke koje daju ostatak $c$ se mogu ispremještati na $6$ načina.

Dakle, brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka ima $6\cdot6\cdot6\cdot6=6^4=1296$.

Drugo rješenje.

Prvu znamenku s lijeva možemo birati na $9$ načina, drugu na $6$ načina (jer znamenku biramo među onih šest koje ne daju isti ostatak kao i prva znamenka), treću na $3$ načina (jer znamenku biramo među one tri koje ne daju isti ostatak kao i prva znamenka i druga znamenka), četvrtu, petu i šestu na $2$ načina svaku (jer ih biramo između preostale dvije znamenke poznatog ostatka pri dijeljenju s $3$, a onda su sedma, osma i deveta znamenka određene jednoznačno.

Zato brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka ima $9\cdot6\cdot3\cdot2\cdot2\cdot2=1296$.