1. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako je $x^2+y^2=2$, možemo tu jednakost napisati u obliku

$$(x+y)^2-2xy=2,$$

a iz te jednakosti uvrštavanjem $x+y=1$ dobijemo $xy=-\frac{1}{2}$.

Dalje je

$$\begin{aligned} x^4+y^4&=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\\ &=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2\\ &=2^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2\\ &=4-2\cdot\frac{1}{4}\\ &=4-\frac{1}{2}\\ &=3\frac{1}{2}\ (=3.5=\frac{7}{2}). \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Zadatak se može riješiti pomoću kvadratne jednadžbe.

Iz $x+y=1$ slijedi $y=1-x$.

Tada je $x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=x^2+1-2x+x^2=2x^2-2x+1$.

Iz $x^2+y^2=2$ slijedi

$$2x^2-2x+1=2,$$

odnosno

$$2x^2-2x-1=0.$$

Upotpunimo lijevu stranu jednadžbe na potpun kvadrat i tako nađimo rješenja jednadžbe.

$$\begin{aligned} 2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}&=0,\\ 2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{3}{2},\\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{3}{4},\\ x-\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt3}{2},\\ x_{1,2}&=\frac{1\pm\sqrt3}{2}. \end{aligned}$$

Za $x_1=\frac{1+\sqrt3}{2}$ je

$$y_1=1-x_1=1-\frac{1+\sqrt3}{2}=\frac{2-1-\sqrt3}{2}=\frac{1-\sqrt3}{2},$$

a za $x_2=\frac{1-\sqrt3}{2}$ je

$$y_2=1-x_2=1-\frac{1-\sqrt3}{2}=\frac{2-1+\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

Kako su rješenja simetrična, za oba slučaja vrijedi

$$\begin{aligned} x^4+y^4 &=\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\right)^4+\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)^4\\ &=\left(\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\right)^2\right)^2+\left(\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)^2\right)^2\\ &=\left(\frac{1+2\sqrt3+3}{4}\right)^2+\left(\frac{1-2\sqrt3+3}{4}\right)^2\\ &=\left(\frac{4+2\sqrt3}{4}\right)^2+\left(\frac{4-2\sqrt3}{4}\right)^2\\ &=\frac{16+16\sqrt3+12}{16}+\frac{16-16\sqrt3+12}{16}\\ &=\frac{56}{16}=\frac{7}{2}\ (=3.5=3\frac{1}{2}). \end{aligned}$$